教学资料ppt电子教案课件矩阵的基本运算.ppt

1 2矩阵的基本运算 例某电视机厂生产三种型号的35厘米 14英寸 彩电tc 1 tc 2 tc 3 它们的主要零部是 s1 显像管 s2 电路板 s3 扬声器 s4 机壳 而这些零部件的主要原材料为 m1 铜 m2 玻璃 m3 塑料 生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出 上述两个数表可简记为 一 矩阵的基本概念定义m n个数构成的m行n列的矩形数表 称为m n矩阵 简记为 其中 是矩阵的第i行 是 aij m n的第j列 因此 aij位于 aij m n的第i行j列 称之为矩阵的 i j 元 行矩阵 只有一行的矩阵列矩阵 只有一列的矩阵零矩阵 全部元素均为零的矩阵 记为0 注 1阶方阵可视为数 设是n阶方阵 称为a的主对角元 n阶方阵 行数与列数均为n的矩阵 例某县有三个乡镇 县里决定建立一个有线电视网 通过勘察测算 获得一组有关建设费用的预算数据 我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据 二 矩阵的基本运算定义设与是两个矩阵 若它们满足 1 m p且n q 2 aij bij 其中i 1 2 m j 1 2 n则称a与b相等 记为a b 例某公司有三项工作需向社会临时招聘三名人员 这些工作必须同时进行 现有甲 乙 丙三人前来应聘 他们对这些工作提出了各自的费用要求 见下表 单位 百元 问如何安排这三人的工作 可使公司的总付出最小 解根据要求 这些工作需由不同的人员承担 利用上表 构造一个矩阵 每一种安排方案 对应中的3个元素 它们分属3个不同的行与3个不同的列 每一种方案的费用即为对应3个元素的和 于是 问题转化为 求费用最小的方案 即找中不同行不同列的3个元素 使它们的和最小 中不同行不同列元素的3元组共有6个 穷举如下 满足要求的3元组有两个 它们的和最小 均为176 由此得有两种方案的总费用最少 甲工作一甲工作三乙工作二或乙工作一丙工作三丙工作二 若甲 乙 丙继续承担第二阶段工作 其费用矩阵与完全相同 即 则对第一阶段的最优安排方案也是对第二阶段的最优方案 此时 总的费用矩阵为 若费用矩阵与不相同 例如 则总的费用矩阵为 定义设令 称矩阵c为矩阵a与矩阵b的和 记为 定义设是矩阵 k是数 令 称矩阵b为数k与矩阵a的数量积 记为b ka 称为a的负矩阵 记为 规定 称为a与b的差 例1组与2组都需要去教材科领取种类相同但数量不同的教材 领书单简记为令 z x y 则1组按z领回书后 通过运算交给2组应得的教材y z x 例设a b 计算2a b 性质矩阵的加法与数量乘法具有下述性质 1 a b b a 2 a b c a b c 3 a a 0 4 a 0 a 5 1a a 6 kl a k la 7 k l a ka la 8 k a b ka kb这里 a b c是同型矩阵 k l是数 例已知a 2b 3a c 其中 a c 求b 例已知平面直角坐标系oxy 把它逆时针绕原点o旋转 角 得到另一直角坐标系 相应的坐标变换公式为 对坐标系绕原点o再逆时针旋转 角 得又一坐标系 相应的坐标变换公式为 设点p在坐标系oxy中的坐标为 x y 在坐标系中的坐标为 在坐标系中的坐标为 则把变换为 称 为的系数矩阵 把变换为 称为的系数矩阵 连续施行 可把变换为 对应变换记为 即 的系数矩阵为 在解析几何及代数学中 称变换为变换与的乘积 记为 对等地 自然把的矩阵c也记为ab 即 称c为a与b的乘积 不难发现 矩阵a b c的元素间有下述关系 定义设 令 称矩阵为矩阵a与矩阵b的积 记为 两个重要的关系式 例 1 2 3 例生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所需原材料的情况分别可用矩阵s与m表示出来 s m 我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢 例某人到商店去买0 5千克糖 1千克水果 3千克面粉 2 5千克大米 已知糖 水果 面粉 大米的价格分别为5元 千克 4 5元 千克 3元 千克 4元 千克 问购买这些商品要花多少钱 例前面坐标旋转的例三个坐标变换公式可以矩阵形式表示如下 因为故 性质矩阵的乘法具有下述性质 1 ab c a bc 2 a b c ab ac b c a ba ca 3 k ab ka b a kb 定义主对角元全为1 其余元素全为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵 记为或i 性质对任一m n矩阵 均有 例设ax b ca i 其中 求x 定义设a是方阵 k是正整数 称k个a的连乘积为方阵a的k次幂 记为 我们规定 称 为方阵a的多项式 这里均为常数 例设a 计算 性质设a是方阵 k l是非负整数 f x 是x的一元多项式 则有 1 2 若f x g x h x 则f a g a h a 这里f a 表示 若f x 则f a 例设a是方阵 则 例设 计算 解因为 所以猜想 对n作归纳法验证此猜想 n 1 结论成立 设结论对n 1成立 下面证明结论对n也成立 根据归纳法原理 上述猜想对任意n均成立 例设a bc 其中 计算 解因为 所以 例 矩阵二项式定理 设a与b是同阶方阵 n是正整数 如果ab ba 那么 这里 例计算 解首先 因为 且 所以 注 1 一般地 ab有意义 但不一定ba也有意义 即使ab与ba都有意义 它们也不一定同型 即使ab与ba同型 它们也不一定相等 例已知矩阵等式a b 则有 2 这里a与b是同阶方阵 例已知 而但结论是不对的 3 由ab 0不能导出a 0或b 0 4 由ab ac a 0不能导出b c 同理 由也不能导出a 2i 例设a b是同阶方阵 则等式成立的充分必要条件为ab ba 定义设a是m n矩阵 把a的行写成列 得到