例谈因式分解的方法与技巧_0.docx

例谈因式分解的方法与技巧 江 苏 省 朱 兀 生 因式分解是初中代数 中一种重要的恒等变形, 是处理数学问题的重要手 段和工具,也是中考和数 学竞赛试题中比较常见的 题型.对于特殊的因式分 解,除了掌握提公因式法, 公式法,分组分解法,十字 相乘法等基本方法外,还 应根据多项式的具体结构 特征,灵活选用一些特殊 的方法和技巧.化难为易, 化繁为简,复杂问题迎刃 而解.现将因式分解中几 种比较常用的方法与技巧 例举如下: 一 ,巧拆项:在某些多 项式的因式分解过程中, 若将多项式的某一项(或 几项)适当拆成几项,再 用基本方法分解,会使问题化难为易. 例1,因式分解X+6x一7 解:X+6x一7=(X一x)+(7x一7) =x(x一1)+7(x一1) =x(x+1)(x一1)+7(x一1) =x一1)(x+x+7) 例2,因式分解X+6x+1lx+6 解:X+6x+1lx+6 =(X3+2x2)+(4x2+8x)+(3x+6) x(x+2)+4x(x+2)+3(x+2) (x+2)(X+4x+3) (x+1)(x+2)(x+3) 二,巧添项:在某些多项式的因式分解过 程中,若在所给多项式中加,减相同的项,再 用基本方法分解,会使问题迎刃而解. 例3,因式分解X+4y 解:x+4y=x+4xy+4y一4xv =x+2y,一(2xy) (x+2xy+2y2)(x一2xy+2y2) 0 三,巧换元:在某些多项式的因式分解过 程中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形 为形式简单易于分解的多项式,会使问题化 繁为简. 例4,因式分解x+3x一4)(x一X一6)+24 解:(X+3x一4)(X一X一6)+24 =(x-1)(x+4)(x+2)(X一3)+24 设y=x+x一2则 原式Y(Y一10)+24 =y2_10y+24(y一4)(y一6) =(X2+x一24)(x2+x一26) =(X2+x一6)(x2+x一8) =(x+3)(x一2)(X2+x一8) 例5,因式分解(x+y一2xy)(x+y一2)+(Xy一1) 解:设x+yIllxyn则 原式=(m一2n)(m一2)+(n一1) =m2mn+n2m+2n+1 =(Illn)一2(mn)+1 =(Inn一1) =(x+yxy一1) =【x一1)(1一y)】 =(x一1)(y一1) 四,展.开巧组合:若一个多项式的某些项 是积的形式,直接分解比较困难,则可采取展 开重组合,然后再用基本方法分解,会使问题 迅速得解. 例6,因式分解(mx+ny)+(nxmy) 解:原式=Inx+2mnxy+n2y+nx一 2mnxy+mZy Inx+nY+nx+my =mX+nx2)+(nZy+m2y) =x2m2+n2)+y2m2+n2) =(Ill+n)(x+y) 五,巧用主元:对于含有两个或两个以上 字母的多项式,若无法直接分解,常以其中一 个字母为主元进行变形整理,可使问题柳暗 花明又一村. 例7,因式分解x4-3x+xy+2x一2xy 解:x4-3x+xZy+2x一2xy 例谈因式分解的方法与技巧 忍冒 条件求值的解题思路与技巧 癣汪省钱双喜 所谓条件求值题是根据题设所给条件, 抓住题目特征,巧妙转化,寻求思路,达到问 题的求解.此类问题是历年中考命题热点,其 条件变化无穷,难度较大,技巧性也强,学生 往往比较棘手.解决这类问题需要有扎实的 双基知识,敏锐的观察力,灵活善变的思维和 过硬的计算能力.关键是如何把已知与未知 的沟通,找到解决问题的结合点.本文略举几 例以说明条件求值题的解题思路与技巧. 一 ,观察法 例:已知a+1=争,/,则as+=aja 或 分析:根据已知a+=,/联想关于 x的方程x+1=a+ , 将已知改为a4一一1= + 击,即得a=vT-&击 解:.a+,/+观察得a,/a,/ 或音 . -a5+1- a(a4+)等x/-Y- 二,整体代入 例:已知x=, 求值 分析:若直接把x= 代入,则非常繁琐. 已知条件可进行适当变形,x=2x= ,/+12x一1=,/_x:x+1,整体代入所 求式子,巧妙求解. 解:. . ? .2x一1=,/ . ? .Xx+1 .!:X3- X2 : . X5XSX3 一 X2 1一一1一 X 3一一 三,换元法 例:已知x为实数且一(x2+3x)2, 那么X+3x值为() A.1B,一1或1C.3D.一1或3 分析:”x2+3x”在已知条件以整体形式出 现,利用整体思想,采取换元法求解. 解:设X2+3xy,则一y2解得y1=1, Y2=-3 但当y=-3时,x2+3x=一3A<0无实数解 所以,y=1,即x-+3x=1 =(x一2x)y+(xL3x+2x)(以y为主元) =x(x一2)y+x(x一2)(x一1) =x(x一2)(x一x+y) 从以上几例可以看出,因式分解题型众 多,方法灵活,有较强的技巧性.若能根据多 项式具体的结构特征,选用恰当的方法与技 巧,不仅可以化难为易,迅速求解,而且有助 于培养学生的创新思维,有效地激发学生的 学习兴趣. 下面几道因式分解题,请同学们不妨练习 一 下