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1 1 1正弦定理 在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥 太阳桥 她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥 为了保证受力的合理 设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度 为了测量前倾的塔臂的长度 测量人员在上坞休闲度假区堤防处 c点 测得塔顶 a点 的仰角为82 8度 塔底 b点 距离点c为114米 这样能确定塔臂ab的长吗 a b 课题引入 直角三角形中 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢 如图在三角形abc中 bc a ac b ab c 求证 角度一 借助高相等bsina cd asinb cd 即 d 同理可证 逻辑推理 证明猜想 角度二 借助三角形的面积相等 ad csinb acsinb 同理 absinc acsina 所以 如图 外接圆法 角度三 c a 0 y x a ccosb csinb m bcos c bsin c b 角度四 根据三角函数的定义 借助am两点的纵坐标相等 因为bsin c csinb 所以 abc 分析差异 函数名称 式子结构 j a b c a b c j j 能不能进一步优化这个过程 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 正弦定理 变式 从理论上 正弦定理可解决两类问题 两角和任意一边 求其他两边和一角两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 正弦定理的应用 例1 已知在中 求和 例2 已知在中 求和 点评 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题 点评 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角 求其他边和角的问题 例题评析 例题评析 若a为锐角时 若a为直角或钝角时 已知a b和a 用正弦定理求b时的各种情况 练习 判断满足下列的三角形的个数 1 b 11 a 20 b 30o 2 c 54 b 39 c 120o 3 b 26 c 15 c 30o 4 a 2 b 6 a 30o 两解 一解 两解 无解 练习 小结与思考问题通过以上的研究过程 同学们主要学到了那些知识和方法 你对此有何体会 1 用向量证明了正弦定理 体现了数形结合的数学思想2 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系 3 定理证明分别从直角 锐角 钝角出发 运用分类讨论的思想 4 运用正弦定理求三角形的边和角 思考题 在用向量法证明正弦定理时 我们选取了与三角形一边垂直的向量作为辅助向量 若取与
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