解答数学应用问题.doc

全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中考总复习解题方法之六六、解答数学应用问题中考数学试卷中会有一些与生活联系非常密切的题目，这些题目考查我们运用数学知识分析问题，解决问题的能力。这些题目与列方程解应用题完全不同，解答这些题目需要较多的数学知识和较高的能力。解这类题目需要注意三个问题：1、读懂题目：这类题目有一个共同的特点，题目的文字特别多。文字多的原因是需要正确地表述问题情境和需要解决的问题，避免产生歧义。也就是我们常说的“阅读量大”。在中考考场上大阅读量给我们带来了心理压力。往往不能集中精力认真阅读，读一遍不知道什么意思，就开始紧张，越紧张就越读不懂题目，就更加紧张，造成很大的心理负担，影响自己水平的发挥。因此，我们要有足够的心理准备，遇到这样的题目时提醒自己不要紧张，定下心来认真阅读和思考，这样会充分发挥自己的智慧，顺利完成题目的解答。读题是解题的开头，读题，不仅是把题目完整的读下来，而且还要读懂。这和阅读文章一样，首先读明白说的是什么事情，要解决什么问题；其次在这件事情中提供了哪些使用数学知识解决问题的信息；最后读清楚这些信息之间有哪些联系，给我们提供了什么启示。2、建立数学模型我们知道，利用数学知识解决应用问题的关键是建立数学模型，有了数学模型就有了解决问题的知识和方法。常用的数学模型有：方程（组）、不等式（组）、函数、统计等，每一类模型中还有小的类型，例如，函数模型中又包括：一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、三角函数等。3、解答这类题目的解答并不困难，往往解答的书写量还没有阅读量大，有时甚至更少。当你读懂了题目，选准了数学模型，解答就应该不成问题了。但是，由于这些题目与实践生活联系密切，提供的数据往往与我们在课堂上做的练习题目差别很大，需要我们动一番脑筋去算。这时正确地计算很重要。下面我们就来看一些题目： 一、一次函数模型例1 一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶，前往与A处相距636千米的B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）0122.5余油量y（升）100806050（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示与之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？解：（1）如图，根据表中的数据，在平面直角坐标系中，描出各点，这些点可以看成一条直线上的点，因此，可以用学过的一次函数来表示与之间的变化规律。设与之间的关系为一次函数：（k0）将（0，100）和（1，8 0）代入，得 解得 验证：当时，符合一次函数；当时，也符合一次函数可用一次函数表示其变化规律。（2）当时，由可得即货车行驶到处时油箱内余油16升 注意： 1、为什么要利用函数的图象来确定函数模型呢？ 我们知道，函数有三种表示法，这三种表示法虽然形式不同，但本质却表示同一函数关系。而最容易判断函数类型的是函数的图象，各类函数图象都有自己的特点，因此使用函数图象来判断函数类型是十分有效的方法。2、为什么在确定了一次函数的解析式后还要进行检验？我们知道，根据表格中的数据在平面直角坐标系中描点后，根据这些点的位置判断它们属于一次函数模型，又根据其中两个点列出了一次函数的关系式，这是一种由特殊到一般的推理，这种推理所得到的结论不一定正确，因此还要检验另外两组数据是否符合。例2 小明到三山服装专卖店做社会调查了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员甲乙月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250假设营业员月基本工资为元，销售每件奖励a元，月销售件数为x件，月总收入为y元（1）确定y与x之间的关系式；（2）若营业员小俐当月总收入不低于元，她当月至少要卖服装多少件？ 解：（1）根据题意，得 （a0） 解得 （2）根据题意，得 即解得 答：小俐当月至少要卖服装334件。 注意：题目中给出的月工资计算方法虽然没有明确表明是一次函数关系，但用式子表示出来却和一次函数的解析式类似，但是，它却不是一次函数。因为，自变量x只能取整数。 二、正比例函数、反比例函数模型例3 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（a为常数，且0），如图所示据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？y（毫克）O3t(小时)1P 解：（1）将点代入函数关系式， 解得 设（k0）将代入 解得 点（，1）在上再（，1）将代入 解得 ，（2） 根据题意，得 解得 至少需要经过6小时后，学生才能进入教室 注意：1、这里为什么先求反比例函数的解析式，然后才求正比例函数的解析式？我们知道题目中先给出的正比例函数关系然后才是反比例函数关系，按理说应该先求正比例函数的解析式，然后再反求比例函数的解析式，但题目中给出的函数图象中只有反比例函数图象上有一点P的坐标是知道的，根据这个条件只能先求出反比例函数的解析式，然后再寻找条件求正比例函数的解析式。2、根据什么条件求正比例函数的解析式呢？从图象上我们发现，有一个点即在反比例函数图象上又在正比例函数图象上，且它的纵坐标为1，只要确定了这个点的横坐标就可以了。又因为这个点在反比例函数的图象上，这个点的坐标能使反比例函数关系式成立，代入即可求得。有了正比例函数图象上的一个点，确定正比例函数的解析式就不困难了。 三、二次函数模型例4 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与（吨）之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线的顶点坐标是解：（1）甲地当年的年销售额为万元；（2）在乙地区生产并销售时，当x=时， 解得 ， n=（不合题意，舍去）（3）将代入，得 （万元）将代入，得 （万元） 应选乙地 注意：这个题目并不难，关键是读懂题意。例5 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由解：（1）根据题意，得 A（-10，0），B（10，0），C（0，6） 设抛物线的解析式为（a0），将的坐标代入，得 解得所以抛物线的表达式是（2）可设F是抛物线上的点 从而支柱的长度是米（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和则（7，0）过点作垂直交抛物线于则由此可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车 注意：这个题目虽然使用了二次函数模型，但与抛物线联系十分密切，因此解题时要特别关注图形（即二次函数的图象）。根据图形中的信息来解决问题。四、三角函数模型例6 某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45、B地北偏西60方向上有一牧民区C一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案， 方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍（1）求牧民区到公路的最短距离CDADC4560（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由（结果精确到0.1参考数据：取1.73，取1.41）解:（1）设CD为千米，由题意得，CBD=30，CAD=45AD=CD=x 在RtBCD中 tan30= BD= AD+DB=AB=40 解得 14.7 牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米 （若用分母有理化得到CD=14.6千米，可得4分）（2）设汽车在草地上行驶的速度为，则在公路上行驶的速度为3，在RtADC中，CAD=45，AC=CD方案I用的时间： 方案II用的时间： = 0 0 方案I用的时间少，方案I比较合理。 注意：利用函数模型解决问题时，经常使用函数图象和函数的性质，而使用三角函数模型时通常使用直角三角形的性质，要从图形中发现隐含的条件。 五、统计模型例7 为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：4035302520151050图11234567431126379塑料袋数个人数位“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图“限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图其它5%收费塑料购物袋_自备袋46%押金式环保袋24%图2 “限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响解：（1）补全图1见下图4035302520151050图11234567431126379塑料袋数个人数位“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图10（个）这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为根据图表回答正确即可，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献 注意：解答本题的关键是读懂统计图（表），从中获取正确的信息。 例8 李明对某校九年级（2）班进行了一次社会实践活动调查，从调查的内容中抽出两项综合素质考试成绩体育测试满分100100100小聪729860小亮907595调查一：对小聪、小亮两位同学的毕业成绩进行调查，其中毕业成绩按综合素质、考试成绩、体育测试三项进行计算，计算的方法按4：4：2进行，毕业成绩达80分以上（含80分）为“优秀毕业生”，小聪、小亮的三项成绩如右表：（单位：分）不及格O36%及格18%良好优秀3人调查二：对九年级（2）班50名同学某项跑步成绩进行调查，并绘制了一个不完整的扇形统计图，如右图请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）他们俩谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？（2）升入高中后，请你对他俩今后的发展给每人提一条建议（3