2019届高考数学总复习模块七选考模块第22讲不等式选讲学案理

第第 2222 讲讲 不等式选讲不等式选讲 1 2018 全国卷 设函数f x 5 x a x 2 1 当a 1 时 求不等式f x 0 的解集 2 若f x 1 求a的取值范围 试做 2 2018 全国卷 已知f x x 1 ax 1 1 当a 1 时 求不等式f x 1 的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 试做 3 2017 全国卷 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 试做 1 形如 x a x b c 或 c 的不等式主要有两种解法 分段讨论法 利用绝对值内表达式对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此 处设a0 1 当a 1 时 解不等式f x x 1 2 若关于x的不等式f x 4 有解 求a的取值范围 听课笔记 考场点拨 1 对于形如 f x g x 的不等式 可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值 2 对于形如 f x g x a f x g x a的不等式 通常利用 零点 分区间法去 掉绝对值 自我检测 设函数f x 2x 7 1 1 求不等式f x x的解集 2 若存在x使不等式f x 2 x 1 a成立 求实数a的取值范围 解答 2 不等式的证明 2 已知a 0 b 0 且a2 b2 2 1 若 2x 1 x 1 恒成立 求x的取值范围 1 a2 4 b2 2 证明 a5 b5 4 1 a 1 b 听课笔记 考场点拨 1 证明不等式的基本方法有综合法 分析法 也常用到基本不等式进行证明 2 对于 含有绝对值的不等式 在证明时常用到绝对值三角不等式 3 对于含有根号的不等式 在证 明时可用平方法 前提是不等式两边均为正数 4 如果所证命题是否定性命题或唯一性命 题 或以 至少 至多 等方式给出 可以考虑反证法 自我检测 已知关于x的不等式 x 2 的解集为 R 1 2x m 1 求实数m的值 2 若a b c 0 且a b c m 求证 abc3 解答 3 含绝对值不等式的恒成立问题 3 已知函数f x x 2 2 x 1 1 求不等式f x 4 的解集 2 若不等式f x 2m2 7m 4 对任意x R 恒成立 求实数m的取值范围 听课笔记 考场点拨 利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论 若f x g a 恒成立 则 f x min g a 若f x g a 恒成立 则f x max0 的解集 2 若对于任意x R 不等式f x 2 恒成立 求m的取值范围 第 22 讲 不等式选讲 典型真题研析 1 解 1 当a 1 时 f x 2x 4 x 1 2 1 2 可得f x 0 的解集为 x 2 x 3 2 f x 1 等价于 x a x 2 4 而 x a x 2 a 2 且当x 2 时等号成立 故f x 1 等价于 a 2 4 由 a 2 4 可得a 6 或a 2 所以a的取值范围是 6 2 2 解 1 当a 1 时 f x x 1 x 1 即f x 2 x 1 2x 1 x 1 的解集为x x 1 2 2 当x 0 1 时 x 1 ax 1 x成立等价于当x 0 1 时 ax 1 0 ax 1 1 的解集为x0 x 所以 1 故 0 x 1 即为 x 1 3x 2 x 1 当x 1 时 不等式可化为 2x 3 x 1 解得x1 矛盾 此时不等式无解 2 3 当 x 1 时 不等式可化为 4x 1 x 1 2 3 解得x 0 所以 x 0 2 3 当xx 1 2 3 解得x 4 所以 4 x 2 3 综上所述 不等式的解集为 x 4 x 0 2 f x 2x a 2 x a 因为函数f x 在上单调递增 在上单调递减 2 3 2 3 所以当x 时 f x max a 2 3 2 3 不等式f x 4 有解等价于f x max a 4 解得a 2 3 10 3 故a的取值范围为 10 3 自我检测 解 1 由f x x 得 2x 7 1 x 即 2x 7 x 1 当x 1 时 显然不成立 当x 1 时 两边平方得 3x2 26x 48 0 即 x 6 3x 8 0 解得 x 6 8 3 综上得 不等式的解集为x x 6 8 3 2 因为存在x使不等式 2x 7 2 x 1 1 a成立 所以 2x 7 2 x 1 1 的最小值小于等 于a 又因为 2x 7 2 x 1 1 所以a 4 6 x 1 4x 10 1 x 7 2 4 x 7 2 解答 2 例 2 解 1 设f x 2x 1 x 1 则f x x x 1 3x 2 1 2 x 1 x x 1 2 由a2 b2 2 得 a2 b2 1 1 2 所以 a2 b2 1 a2 4 b2 1 2 1 a2 4 b2 1 2 1 4 b2 a2 4a2 b2 1 2 1 4 2 b2 a2 4a2 b2 9 2 当且仅当a2 b2 时等号成立 2 3 4 3 所以 2x 1 x 1 9 2 当x 1 时 得x 所以 1 x 9 2 9 2 当 x 1 时 得 3x 2 解得x 所以 x 1 1 2 9 2 13 6 1 2 当x 时 得 x 解得x 所以 x 1 2 9 2 9 2 9 2 1 2 综上可得 x 9 2 9 2 2 证明 a5 b5 a4 b4 a2 b2 2 2a2b2 a2 b2 2 2 2a2b2 a2 b2 1 a 1 b b5 a a5 b b5 a a5 b b5 a a5 b 2 4 当且仅当 即a b 1 时等号成立 b5 a a5 b 自我检测 解 1 x 2 1 2x m x 2 2 1 2x m 2 整理得 3x2 16 4m x 16 4m2 0 由题意得 16 4m 2 4 3 16 4m2 0 整理得 m 1 2 0 m 1 2 证明 a b c 1 a b 2 b c 2 c a 2 当且仅当a b c 时等号都成立 abbcac 1 3 a b c 1 abbcac 又 2 a b c 2 2 2 abcabbcac 2 3 abc abc3 解答 3 例 3 解 1 依题意得f x x 2 2 x 1 4 3x x 2 不等式f x 4 等价于或或 x 4 1 x 2 x 4 x 2 3x 4 4 解得x 故所求解集为 0 8 3 8 3 2 由 1 可得 当x 1 时 f x 取得最小值 1 f x 2m2 7m 4 对任意x R 恒成立 f x min 2m2 7m 4 即 2m2 7m 4 1 2m2 7m 3 0 解得 m 3 1 2 实数m的取值范围是 m 1 2 m 3 自我检测 解 1 x 1 x 2 2x 1 x 1 3 1 2 当m 5 时 f x 0 等价于或或 x 1 2x 1 5 1 5 x 2 2x 1 5 解得x3 不等式f x 0 的解集为 2 3 2 由题意知m x 1 x 2 2 在 R 上恒成立 又 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 1 m 1 即m的取值范围是 1 备选理由 例 1 考查含参绝对值不等式的求解 解题时要对参数进行分类讨论 有利于学生 进一步掌握去掉绝对值的原则 例 2 考查不等式的证明 需要采用反证法证明 难度不大 但 思维含量较高 例 3 考查绝对值不等式恒成立问题 需要分类讨论去掉绝对值 涉及分类与整 合思想 分离参数法 利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法 综合性较大 例 1 配例 1 使用 已知函数f x 2x 1 x a a R 1 当a 2 时 解不等式f x 4 2 若不等式f x 1 的解集为非空集合 求a的取值范围 解 1 当a 2 时 原不等式即为 2x 1 x 2 4 当x 时 原不等式为 2x 1 x 2 4 可得 1 x 1 2 1 2 当 x 2 时 原不等式为 2x 1 x 2 4 可得 2 时 原不等式为 2x 1 x 2 4 可得x 综上可知 原不等式的解集是 1 1 2 f x 2x 1 x a a R 当a 时 f x 2x 1 0 显然不等式f x 时 易知当x 时 f x 取得最小值a 即f x 2x 1 x a a 欲使不等式 1 2 1 2 1 2 1 2 f x 1 的解集为非空集合 则需a 1 1 2 a 1 2 1 2 当a 时 易知当x 时 f x 取得最小值 a 即f x 2x 1 x a a 欲使不等 1 2 1 2 1 2 1 2 式f x 1 的解集为非空集合 则需 a 1 a 1 2 3 2 1 2 综上可知 当 a 时 不等式f x 0 n 0 求证 m n 2 解 1 f x x 1 x 1 x 1 x 1 2 当且仅当 1 x 1 时取等号 所以f x min 2 即a 2 2 证明 假设m n 2 则m 2 n 则m3 2 n 3 所以m3 n3 2 n 3 n3 2 6 1 n 2 2 由 1 知a 2 所以m3 n3 2 矛盾 所以假设不成立 即m n 2 例 3 配例 3 使用 已知函数f x 2x 2x 3 m m R 1 当m 2 时 求不等式f x 3 的解集 2 若对任意x 0 都有f x x 恒成立 求m的取值范围 2 x 解 1 当m 2 时 f x 2x 2x 3 2 4x 1 x 0 1 3 2 x 0 4x 5 x 3 2 当x 0 时 得 4x 1 3 可得 0 x 当 x 0 时 得