贝塞尔方程的求解.doc

常微分方程论文题 目: 贝塞尔方程的求解 姓 名: 任 佳 菁 专 业: 数学与应用数学 学 院: 初阳学院 年 级: 2007 学 号: 07990206 论文完成时间: 2009 年 12 月 30 日贝塞尔方程的求解摘要：本文在教材常微分方程中关于贝塞尔（Bessel）方程解法介绍的基础上，探讨了n阶贝塞尔方程的解法，同时得到了一种针对零阶贝塞尔方程的简便解法。关键词：n阶贝塞尔方程 零阶贝塞尔方程 解法一、 阶贝塞尔方程的求解阶贝塞尔方程的形式为 （1.1）式中为非负实数,称为贝塞尔方程的阶。由高等教育出版社常微分方程第三版第4.3节定理11知，方程（1.1）有形如的解，将其代入（1.1）得，左边合并的同次幂项得，令各项的系数等于0，得一系列的代数方程：因a不等于0，从(1.2)的第一个方程解得的两个值和。分两种情况考虑。1.1先考虑时方程(l.1)的一个特解将代入(1.2)的第二式，得，而，从而得。再将逐次代入（1.2）的各式，一般地得故有从而求得一般的将各代入得到方程(1.1)的一个解 ， （1.3）不妨令,其中定义如下：当s0时，；当s0且非整数时，由递推公式定义。具有性质；，为正整数。故（1.3）可变为，注意到函数的性质，即有（1.1）的一个特解为。1.2再考虑时方程（1.1）的另一个特解将代入（1.2）的第二式得，当时，有。再将逐次代入（1.2）的各式，一般地得当约定，则有 （1.4）分下面两种情况考虑1.2.1当2n不等于非负整数时从（1.4）解得，按下脚标的奇偶性分为由求得也得一般地我们得到将代入，得到方程（1.1）的一个解我们令。则有由函数的性质且合并有称为阶贝塞尔函数，是方程的另一个特解。利用达朗贝尔判别法，可以验证与，即与都是收敛的。因此当2n不等于非负整数时，与都是方程（1.1）的解且线性无关，因为它们可展为由的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。于是方程（1.1）的通解：在2n不等于非负整数时为，这里与是任意常数。1.2.2当2n等于非负整数时（i）2n=2m+1是奇数这时，由（1.4）知，当k取到偶数时，的系数。因此与1.2.1一样可以确定。当k取到奇数时，若，则的系数为，则。若，则由（1.4）得知的系数为零，且有注意到，因此，只要令，则仍有。所以当2n为奇数时，对应于仍可得到且表达式一样，但讨论过程与1.1很不一样。（ii）2n等于偶数，即n为非负整数用待定系数法得不到与线性无关的解，但可用降阶法求得与线性无关的解。综上所述，当n不等于非负整数时方程（1.1）有两个幂级数解与且线性无关，故通解为。二、 零阶贝塞尔方程的求解2.1问题的提出对于零阶Bessel方程的求解，通常的作法(也是一般微分方程教科书所采用的通用解法)是利用幂级数解法，可求得其对一切x值一致且绝对收敛的解 (2.1)多数人都觉得这已经达到了数学上的完美，令人满意了。但是，若我们进一步深思，就会发现收敛的很快，在实际计算中很方便，可是当值越大时，此解收敛得就越慢。这也就是说，对于较大的值，要求得满足一定精度要求的数值解，计算量是相当大的。因此，当较大时，幂级数解就不实用了。本文试图用其它方法来寻求一个当较大时更便于实际计算的解的公式。2.2问题的解决考察零阶Bessel方程 (2.2)做变量代换，方程（2.2）化为 （2.3）当时，方程趋向于，此方程有解为。故对方程（2.3）做进一步的变量置换，则方程化为 （2.4）则方程（2.4）有形如的解，代入方程（2.4）得其中第二个合式中用n+1代替n并合并化简得，这是一个恒等式，对一切均成立，所以各项系数均为零，即。取，得，故得解 （2.5）在（2.5）中以代替得故方程（2.2）当时被形式的满足。这两式右端虽对一切x值发散,但是对于固定的n，当时，由于，所以上两式均是渐进展开式，为了得到方程（2.2）的实数解，由齐次线性方程组的叠加原理得，也为方程（2.2）的解。当较大时，此表达式比幂级数解的表达式运算量小得多。例如，当x=4时，要给出三位有效数字的解，用幂级数解的公式计算需要取八项，而本公式的首项就达到了同样的精确度。当x进一步增大时，要得到同样精度的结果，本公式比幂级数解的工作量就小得更多。参考文献1 赵新俊,关于零阶Bessel方程的求解,兵团教育学院学报,1999年第3期;2 李自生,关于Bessel方程幂级数解法的注记,张家口师范专科学校学报,2001年第6期;3 黄银生,倪致祥,贝塞尔方程通解的一个简明推求,阜阳师范学院学报(自然科学版),2009年第2期;4 常安定,左大海,非齐次贝塞尔方程的解,纺织高校基础科学