§2-7 函数的凸性.doc

1352-7 函数的凸性勾画函数图形的方法2-7 函数的凸性勾画函数图形的方法1.凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。例如，曲线在轴左边是向下弯曲的(称为上凸)，而在轴右边是向上弯曲的(称为下凸)(图2-28).虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其他数学分支中也是很有用的. 图2-29yxO x1 (x1+x2 )/2 x2ABCD图2-30xyO x1 (x1+x2)/2 x2ABCD O x图2-28y从图2-29中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的上方；而从图2-30中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的下方.根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义：称连续函数在区间内为下凸(上凸)函数，假若对于内任意两点和，都有 (2-9) 【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”.本书中的称呼与上面这些称呼恰好相反，但与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的.请读者注意到这些区别.【注2】通常说“函数在区间内是下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足琴生(Jesen)不等式它等价于不等式（其中和为正数且）显然，不等式(2-9)是琴生不等式的特殊情形.不过，对于连续函数来说，不等式(2-9)与琴生不等式是等价的.因此，我们就用简单的不等式(2-9)定义函数的凸性.关于两者等价性的证明，有兴趣的读者可登陆网站去看专题选讲（ )【注3】若函数在区间内可微分，则从图2-31看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数是增大(减小)的.我们也可以证明这个结论(有的教科书中就把这个结论作为凸函数的定义).图2-31(1) 下凸切线(2) 上凸切线定理2-3 设函数在区间内可微分.若导数在内是增大(减小)的，则函数在区间内是下凸(上凸)的.从图2-31看出，逆命题也成立(在上面指出的网站上有证明).证 设和为区间内任意两点(不妨认为).根据微分中值定理，当导数增大(减小)时， 其中，即因此，函数在区间内是下凸(上凸)的.假若函数在区间内有二阶导数，那么根据定理2-3和判别函数单调性的方法（定理2-2），就有下面判别函数凸性的方法.定理2-4 设函数在区间内有二阶导数. 若，则在区间内是下凸函数； 若，则在区间内是上凸函数. 对于函数，由于所以，它在区间内是上凸的，而在区间内是下凸的(图2-28).2.拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图2-28中原点的两边).这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点).同时，也把函数图形的拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点.若点是函数的拐点且有二阶导数，则.这是因为，例如函数在点的左边近旁下凸时，由于，所以且函数在点的右边上凸时，由于，所以因此. 同理，若函数在点的左边上凸且在点的右边下凸时，也有.图2-32Oxy但是要注意，仅有时，点不一定是函数的拐点.例如函数，尽管有，但不是函数的拐点，因为，即函数在原点的两边都是下凸的(图2-32).特别，假若函数在区间内有二阶导数,且在点的两边有相反的符号,则就是函数的拐点.此时，显然有.3.勾画函数图形的方法 在中学数学中，绘制函数图形时，用的是描点法.它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态.下面的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷.因此，把两者结合起来就是最好的绘图方法.例29 勾画出函数的略图.解 , 用驻点和(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于的点(它有可能是拐点)，将函数的定义区间划分为四个小区间：，再把函数在这些小区间内有关和的信息，填在下面的表格中. + - - + - - - + + + 极大 拐点-2 -图2-33-1-10xy13 极小 我们利用导数的有关信息所画出的略图(见图2-33)，使我们能够看出函数的变化状态.例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值.4.函数图形的渐近线 不管是描点法，还是上面用导数的方法(即解析法)，都只能画出函数图形的有限部分.对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线).例如，函数的图形就有两条渐近线(图2-34).因为它们与轴平行，所以称它们为水平渐近线.求水平渐近线的方法很简单.若存在有穷极限 或 则曲线就有水平渐近线.xy图2-34O函数图形也可能有垂直渐近线.例如函数的图形（图2-35）有两条垂直渐近线.求垂直渐近线的方法也很简单.观察函数，若它有无穷间断点，即 或 图2-35yxO则曲线就有垂直渐近线. dA Ny=kx+by=f(x)POx图2-36 y函数图形还可能有斜渐近线.如图2-36，设曲线上的点到直线的距离为.在直角三角形中， 按照渐近线的定义，直线是曲线的渐近线，当且仅当点沿曲线伸向无穷远时，有；而，当且仅当有常数和，使 或 .于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数和： 第一步，先求斜率因为 且 ,所以 .第二步，再求截距, 即 .例30 求曲线的渐近线.图2-372y=x1yxO 1 212x=1解 因为，所以它有垂直渐近线. 又 ， ,所以它有斜渐近线(图2-37).例31 勾画函数的图形.解 ，像例29那样，用函数的驻点和(没有二阶导数等于的点)，把函数的定义域分成若干小区间(注意,是间断点)，并把有关信息填入下表格中： 极大 间断点 极小 【注】 有垂直渐近线和斜渐近线.根据表格中提供的信息，可勾画出函数的略图(见图2-37).习 题1.验证下列函数在所示区间内是下凸的：； ； .2.验证函数与在区间内是上凸的.3.求下列函数的下凸区间与上凸区间：； ； ； . 答案：在内下凸，在内上凸； 在内上凸，在内下凸； 在与内下凸，在内上凸； 在与内上凸，在内下凸.4.设函数为偶函数.若在区间内有 且 则在区间内，下列哪一种情形是对的？ ； ； ； . 提示：. 答案： 又问：若函数为连续奇函数且在区间内有 且 那么上述情形中哪一种是对的？点是它的拐点吗？ 答案：；是拐点.5.证明下列不等式： ； ； . 提示：选择适当的下凸函数.【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：确定函数的定义域；函数是否具有奇偶性或周期性；求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；若有零值点，求出函数的同号区间；求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；确定函数的