十五 奇妙的幻方.doc

十五 奇妙的幻方把一些自然数填在纵横部相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方.幻方是我国丰富的文化遗产之一.在古代就有“河图”、“洛书”的传说.到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究.奇妙的幻方犹如一个数学万花筒，它曾使不少数学爱好者入迷.它的一些有趣的性质，令人回味无穷.幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法.问题15.1 把19九个数字填入一个33的正方形内，每格填一个数字，使每一横行、每一竖列和两条对角线上三个数之和都相等.分析19九个数之和为45，正好是三横行（或三列）数字之和.因此，每一横行（或每一列）的三个数字之和等于453=15.而19九个数字中，其中三个不同的数相加的和等于15的只可能是：9+5+1=15，9+4+2=15，86+1=15，8+5+2=15，8+4+3=15，7+6+2=15，7+5+3=15，6+5+4=15.因此，每一横行、每一列和每一对角线恰好是其中一个加式中的三个数.中心数有4条线经过，要求它能在四个等式中出现.除5外，没有其它的选择.而2、4、6、8各出现在三个等式中.因此它们是四个角上的数，这样每一格应填哪一个数就不难确定了.解 见图151.以上我们得到的便是一个简单的三阶幻方.如果把上图的有关行和列经过适当的对换、旋转，还可以得出其它的填法，如图152.问题15.2 在图153的空白处填上适当的数，使得图中横行、竖列及两对角线上四个数的和都是34.分析 这实际上是一个四阶幻方问题，因为图中已填上一些数字，使问题大为简化.只要我们按图中先填出A、B、C、D四个空白处的一个数字，就比较容易得到答案.见图154（1）.解略.如果题中没有填出数字，即将116.这十六个数填入44的方格中，使它成为四阶幻方，答案不唯一，如图154.问题15.3从113这十三个自然数中选出十二个数，填入图155（1）的34方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三个数的和也相等.分析 这个问题是幻方的变形题.因为1+2+3+12+13=91，要去掉其中一个数，使得这十二个数之和既能被3整除（表中有三行）又能被4整除（表中有四列），即能被12整除.由9112=77，即从中去掉7.这样横行之和应为（91-7）3=843=28，竖列之和应为（91-7）4=844=21.又这十二个数中有六个奇数和六个偶数，而奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数.所以，四个竖列中有一列是三个奇数，其余三列各有一个奇数，如图155（2）.三个奇数的和是21的只有两组：1+9+11=21，3+5+13=21.填好奇数，就不难凑出其余偶数了.于是可有两种答案（图 156）.问题15.4 在图157（1）的方格内，每边上的数加起来之和都是5，所有数的和是12.现在请你用任何数字重新排列填入图157（2）、（3）中，使每边上的数字之和仍为5，但全部数的总和是13、14.解 本题的关键是处理好方格中四个角上的数，它们在计算各边数字和时，都计算了两次.如果某角上数字减少1，而使每边上数字和不变，应在与该角有关的两条边中间数字上各加上1，这样表格中全部数字和便增加1。这样我们可以得到图158的正确答案：练习151.把2， 3， 4，10这十个数字填到图 159的33方格内，使每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填入图1510的33方格内，这样，每一行的三个数字组成一个三位数.如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？3.把1、2、3、4、5、6填入图1511内，要使得每一行右边的数字比左边的数