Gram矩阵及行列式在体积计算中的应用.doc

南昌航空大学学士学位论文指数生成函数及其若干应用 摘要：指数生成函数在组合数学中有着重要的应用，本文给出了指数生成函数的概念，以及它们的若干性质，给出了在解决多重集的排列问题、组合恒等式的证明方面的具体应用，并着重阐述了其在允许重复排列问题上的具体运用。 关键词：指数生成函数 多重集排列 组合恒等式 The application of Gram matrix and its determinant on computation of volume Student name: Ding Qiusheng Class: 040721 Supervisor: Yu DeshengAbstract: Gram determinant is an important determinant and it has thus of wide useThis article presents the definition of Gram matrix and Gram determinant.and some properties of them. As the application of Gram determinant, we descripts a volume formula of n-dimensional parallelepipeds in Euclidean Space using Gram matrix and Gram determinant, especially the volume formula of solid parallelepipeds and tetrahedrons.Keywords: Gram matrix Gram determinant Euclidean Space parallelepipedvolume1、引言指数生成函数作为生成函数的一种，有着其自身的性质和应用，较有代表性的是利用指数生成函数解决多重集的排列问题。平时解决排列问题通用的做法是利用加法原则、乘法原则以及一些基本公式，而这些方法在解决多重集排列问题是往往比较繁琐，复杂。 本文拟通过指数生成函数来解决多重集的排列问题，并对指数生成函数在组合恒等式证明上的运用做深入的研究。2、指数生成函数的概念、性质及其证明2.1指数生成函数的概念定义 1 给定内积空间中的一列元素，则矩阵称作的Gram矩阵，则其行列式称为的Gram行列式。2.2 Gram矩阵的性质1、设 ,令A表示矩阵， 表示其共扼转置，则,且。证明 又 综上，所以有 又因为，所以。2、维欧氏空间关于基的Gram矩阵是正定矩阵。证明 ，则 其中，又因为当时，所以是正定二次型，即是正定矩阵。3、维欧氏空间同一内积关于不同基的Gram矩阵是合同的。证明 设是维欧氏空间的两个基同一内积在基下的Gram矩阵为；在基下的Gram矩阵为，关于基的坐标为 ;关于基的坐标为。设由基到基的过度矩阵为，则又因为，所以与合同。2.3 Gram行列式的性质1、行列式的线性关系（1）关于其变元是对称的；（2）（3），；证明 （1）显然，即关于其变元是对称的 。（2） 将第行和第列分别提取系数，则 （3）由行列式的性质有 2.4 Gram矩阵及其行列式的几何意义令个中的向量 这些向量在一个维平行多面体的边上，其体积决定，可以证明(见参考文献3) （1） 将（1）式的转置矩阵与其相乘可得因此 通过利用Gram矩阵的几何意义，我们可以得出利用Gram矩阵求维空间中平行多面体的体积。本文着重阐述三维空间中平行多面体体积的计算问题，以及通过利用求平行多面体的体积来求其它非平行多面体的体积。3、应用实例例1 在维欧氏空间中，已知一平行面体的同一顶点的各边长分别为，且各边向量之间的夹角为，试求该平行面体的体积。解 在维欧氏空间中，以其中一顶点为原点建立坐标系，令，由Gram矩阵的几何意义可知，都在该平行面体的边上。由于，因此有平行面体的体积。当为奇数时，；当为偶数时，。特别地，当时，即得为三维空间中的正方体的体积例2 平行六面体的同一顶点的三条棱长分别为，且两两夹角为，求平行六面体的体积。 解法一 如图1，在平行六面体中，设从同一顶点的三棱长，且三棱之间夹角两两成。 作于，于，底面 于，则是平行六面体的高，且在 图1的平分线上，即平分。分别在 和中，有，底面积，所以平行六面体的体积。解法二 利用Gram行列式求解。以顶点的三条向量分别为平行六面体的三条棱，由Gram矩阵的几何意义，我们可以知道如下关系又已知 ， 且，所以。即 ,所以 。这与上述解法得出的结果是一致的。例3 在维欧氏空间中，其一组互相垂直的基向量为，求：（1）以(任意个向量之和)为棱构成的超平行面体的体积；（2）求以为棱构成的平行面体的体积。解 （1）设。由Gram矩阵的几何意义可知，向量分别为平行面体的棱。 因此，由Gram矩阵的几何意义，平行面体的体积可以写成如下形式，将代入式子中，即有，所以 。特别地，当时，即得三维空间中以为棱的平行六面体的体积。（2）设，由Gram矩阵的几何意义，向量分别为平行面体的条棱平行面体的体积可以写成如下形式，对作内积，代入式子中我们会得到，当时；当时，；当时，。注 用Gram矩阵解决此类问题比用初等数学里的立体几何的方法更加方便、有效。引理1 在一个平行六面体中，以同一个顶点的三条棱边的中点与该顶点所围成的四面体体积等于平行六面体体积的。证明 如图2，有一平行六面体，、分别为、的中点，由立体几何的知识我们知道，令六面体的高为，因为为的中点，所以四面体的高为。因此， ， 图2 而 ， 即 。例4 如图2，已知平行六面体， 分别为的中点，已知求四面体的体积。 解 由已知、分别构成平行六面体的三条边，由Gram矩阵在三维空间中求平行六面体的几何意义可知，题设满足条件，于是 ，即平行六面体的体积为3。由引理1，所以四面体的体积 。注 此题即是通过利用平行六面体的体积求四面体的体积，首先运用了Gram矩阵求平行六面体的体积，然后借助平行六面体与四面体的体积关系，最终得出四面体的体积。引理2 由平行六面体各个面的对角线所组成的四面体体积等于平行六面体体积的一半。证明 如图3已知平行六面体，连接各个面的对角线，分别为各个面的对角线，由立体几何的知识知道，而 ，其中为平行六面体的高，又因为，所以 ， 图3故 。例5 已知平行六面体如图3，连接各个面的对角线， ，已知 ，求平行六面体各个面对角线组成的四面体的体积。解 由向量的基本运算有 (1) (2) (3)且，由(2)(3)联立，得到 所以，。又由(1)得，所以由为顶点的三条棱所构成的平行六面体体积即可由Gram矩阵的几何意义得出，即代入数值 ,得 ，所以 。由引理2得 。例6 求维单纯形 的体积解法一 作变换这时 ，因此有，其中， ， (2)这里，对积分(2)作变换，这时，因此有 其中。这是一个递推公式。由于当时，因此于是 解法二 利用Gram行列式求解由于在维欧氏空间中，以个向量为棱构成的超平行面体体积等于以为棱构成的面体体积的倍，所以为求得维单纯形的体积，就可以写求得超平行面体的体积。由Gram矩阵的几何意义，令以个向量为棱构成的超平行面体体积为，则我们可以立即得到，又，同时我们注意到向量相互之间是正交的，所以当时，且。因此我们可以得到，所以 。综上所述，我们可以得到维单纯形的体积。注 通过借用Gram行列式求解维欧氏空间中超平行面体的体积来求维单纯形体积所得结果与我们用积分方法所得完全一致，同时，通过此类转折性的变通，使得整个解题过程显得更加简便，理解更加容易。例7 求维角锥的体积。解 由上一个例子我们知道，以个向量为棱构成的超平行面体体积等于以为棱构成的角锥的体积的倍。由Gram矩阵的几何意义，令以个向量为棱构成的超平行面体体积为，则，而，因此，所以维角锥的体积 例8 求由平面所界的3维平行六面体的体积，这里设。解 根据题意再由立体几何的知识可知，由三组互相平行的平面可以相交出八个顶点，连接这些顶点即可界成一个平行六面体，以下是求该平行六面体的体积。由已知该组平面可以表示为 根据平行六面体的构成，我们有如下取法，我们先取一组互不平行的平面。由已知，所以该组平面组成的方程组有唯一解，即三个平面交于一点，由克莱姆法则，可求得点的坐标为类似的，再取平面组；和分别得到交点，。再建立直角坐标系，则以点为同一顶点的三条棱向量分别为，。由Gram矩阵的几何意义，平面六面体的体积即可表述为如下表达式，将上面求得的向量分别作内积代入上式中我们有 其中，而由高等代数的知识我们知道，又因为，所以 。于是 ，所以平行六面体的体积 。类似地我们可以推得在维空间中由组互相平行的平面，(这里设)所界成的平行面体的体积4、结论通过本文的论述，我们知道Gram矩阵及其行列式在体积中具有广泛的应用，在维空间中计算平行面体体积，以及通过求平行面体体积来求面体体积。在三维空间中表现为求四面体的体积，在维空间中表现为去求维单纯形的体积。通过利用Gram矩阵及其行列式求体积使得我们对Gram矩阵及其行列式有着更加深刻的理解，对于维空间中体积计算的方法有了更加全面的把握。参考文献1王品超.高等代数新方法M，济南山东教育出版社1989 2程元玲等.