一元函数与二元函数在微积分学上的差异

一元函数与二元函数在微积分学上的差异在一元微积分部分我们学习了仅依赖于一个变量的函数一元函数。一元函数是函数关系中最简单的情形。但在现实问题中，我们发现通常一个变量的变化总是受到多个因素的制约和影响。所以，我们更需要学习、研究多元函数及其微积分。而在多元函数的相关学习中我们又以二元函数为重点研究对象，因为对二元函数的研究方法在原则上适用于多元函数。通过对一元函数与二元函数的比较学习，我们发现矛盾对立统一的观点贯穿二者之间。下面我们将着重分析一元函数与二元函数在微积分学上的差异。（一）、函数极限这一点通过几何上的意义可以很直观地加以说明：在几何图象上，一元函数描述的仅是二维平面上简单的点或曲线；而二元函数，从一元函数确定的二维平面上扩展至三维立体空间描述的是点或曲面。我们从极限的定义上来看：一元函数y=f(x)在x0处的极限为A即当xx0 有 f(x)A。可以知道x趋近于x0 ，有且仅有两个方向.xo的正方向和xo的负方向，而且趋近的路径也被f(x)确定的曲线所确定。因此我们在考虑函数在某点的极限是否存在时,通常只考虑函数在该点的左右极限是否存在且相等。而二元函数f(x,y)在(x0,y0)的极限为A即当(x,y)(x0,y0)有z=f(x,y) A。显然，在坐标平面上(x,y)有无数个方向可以趋向于(x0,y0)而且(x,y)趋向于(x0,y0) 的路径也是多种多样。因此,我们发现在二元函数中已无左右极限之说。那么，我们在考虑二元函数在某点的极限是否存在时,就不能再仅仅考虑它在该点的左右某个方向或某条特定的路径上存在极限。而应考虑在这点的某个邻域内任意方向、由任意路径趋近是否都存在极限，并且各极限的值相等。（二）、连续函数连续实际上是函数存在极限的一种特殊情况：函数在某点存在极限且极限值就等于函数在该点的函数值。所以，对函数连续的讨论可以与函数极限的讨论等同起来。同样，一元函数在某点连续则它在该点左连续右连续；而二元函数无左、右连续之说。值得注意的是，当一元函数不连续时它可能有可去间断点、第一类间断点、第二类间断点。对于二元函数，它若不连续同样有类似以上的三类间断点。根据不同间断点的定义可知，在二元函数中要确定点a是哪一类间断点，不仅要像一元函数一样考虑f(a-0)、f(a+0)是否都存在，存在的话是否相等，相等的话又都等不等于f(a)。还要考虑从不同方向顺着不同路径趋近于a 时的极限，换句话说，就是要考虑到a 的整个邻域。就几何图象来说，连续的一元函数图像是一根光滑曲线允许曲线上有尖角（如函数f(x)=x所确定的图象在x=0处）；连续的二元函数图像是圆滑的曲面，但是它不允许有尖角。（三）导数1.由于一元函数只含一个变量，所以可以对该变量直接求导；二元函数含两个变量只能分别对其中一个求偏导。在求一个变量的偏导时，将另一个变量看成常量。实际上，另一变量的变量身份并没有改变而且z=f(x,y)对x的偏导还是关于 x,y的二元函数。2.高阶导数。一元函数如果存在高阶导数，高阶导数的个数与阶的大小无关，反正至多有一个表达式；二元函数存在高阶偏导数，则其高阶偏导数的个数有关（阶越高数目多）。假设二元函数存在任意高阶偏导数，函数的n阶偏导数有2n个。3一元函数可导一定可推导出函数连续，二元函数的偏导数存在并不能说明函数一定就连续。.（四）微分1.一元函数可导与可微是等价的，二元函数可导并不能推导出函数可微，二元函数在某点可微的充分条件是它在该点邻域的偏导数连。在判断一元函数是否可微时只要考虑该函数本身的一些性质，而要判断二元函数是否可微还要考虑它的偏导数的相关性质。2.几何意义。一元函数在某点可微就表示函数图像在该点存在切线，所以一元函数若在整个定义域都可微则说明它的函数图像上任意一点都存在切线。二元函数在某点对 x的偏导数、对y的偏导数分别表示二元函数与y=y0 、x=x0 相交所得曲线在该点存在切线，就算二元函数在整个定义域上都可微