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毕 业 论 文 题 目：中学数学思想方法与数学教学学 院：数学与计算机科学专 业：数学与应用数学年 级： 姓 名： 指导教师： （讲师）完成时间：2012年3月10日中学数学思想方法与数学教学 摘要：数学思想方法是研究数学的方法与进行教学活动的方法，只有将其应用于教师的教学和学生的学习中才能很好的提高教学和学习的效率。文章先介绍一些基本的数学思想方法，然后谈谈在中学教学中如何渗透这一思想方法，最后分析在体现这些思想方法时应注意的问题。关键词：中学数学；数学思想方法；数学教学Abstract: mathematics thinking method is the study of mathematical methods and teaching methods, only applied to the teachers teaching and students learning can be very good to improve teaching and learning efficiency. This paper first introduces some basic mathematical way of thinking, then talk about in the middle school teaching the way of thinking, in the final analysis of embodied these ideas method should pay attention to the problem.Key words: The middle school mathematics, mathematical way of thinking, mathematics teaching引言数学思想方法是老师与学生交流的一座桥梁，将其应用于教师的教学和学生的学习中才能很好的提高教学和学习的效率，许多著名的专家对此作了大量而深刻的研究，文献1主要是从几种常见的具体方法来阐述数学思想方法在数学教学及学生学习中的应用，然后通过几个具体的例子来加以说明。文献2是从中学数学中常见的化归思想、数形结合的思想来谈数学思想在数学学习中的重要作用，掌握了这两种方法可以提高学生分析问题和解决问题的能力。文献3是通过数学思想、数学方法等概念指出了在中学数学教学中必须重视数学思想方法的渗透，同时也提出了再实际教学中渗透数学思想方法的一些做法；文献4主要是阐明如何将数学思想方法贯彻到数学教学中去，同时在数学教学中如何灵活应用一些数学思想方法。本文先介绍一些基本的数学思想方法，然后谈谈在中学教学中如何体现这一思想方法，最后分析在体现这些思想方法时应注意的问题。1. 中学中常见的数学思想方法1.1. 化归的思想方法所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转化思想方法，是一种把未解决的问题或特解决的问题，通过某种方式的转化，归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题，最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁（化归对象）、化归到哪（化归目标）、怎样化归（化归方法）.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等。 化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的。例1：一次函数与在同一坐标系内的交点坐标是_思路分析：两个一次函数也就是二元一次方程，它们在同一个坐标系内的交点也正是由这两个一次函数构成的二元一次方程组的解。答案为：例2：在解高次方程时，我们可设则原方程化为求出的值后再代入求出的值。请用这种方法解分式方思路分析：所提供的方法是利用整体思想用换元法使高次方程化为一般一元二次方程，对于要解的分式方程，同样可用代替进行换元求解。解：设，则原方程化为，整理得，解得，经检验，都是该方程的解，当时得，解得，当时，得，方程无实数根，故原方程的解释 ，。1.2. 数形结合的思想方法所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题。数形结合的思想方法的特点：数形问题的解答；形数问题的解答。 例1：三个数、在数轴上的对应点如图1，化简思路分析：从图上可一目了然的看出、的大小关系。解：从图上可以看出，则有0、0、0，由此把绝对值打开可得：原式=-（）-（）+-（） =-+- =例2 已知一次函数和的图像经过点，且与轴分别交于、两点，试求的面积。解：一次函数和的图象都经过点0=； 0=，故两个一次函数解析式分别为，。它们与轴的交点为),。画出草图如图2所示，则由图可知：=,。1.3. 分类讨论的思想方法 所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法。分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标准须相同；分类须有一定的范围，不能超范围。例1：甲、乙两人分别从相距30km的、两地同时相向而行，经过后相距，再经过，甲到地所剩的路程是乙到地所剩路程的倍，求甲、乙两人的速度。解：（1）当后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为，乙的速度为，则解得，甲的速度为，乙的速度为。（2）当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为，乙的速度为，则解得甲的速度为，乙的速度为。答：甲的速度为，乙的速度为 或甲的速度为，乙的速度为。例2：已知，为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_。解析：由，可得且。分别解这两个方程，可得满足条件的解，或。由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当两直角边长分别为，时，斜边长为；当直角边长为，斜边长为时，另一直角边的长为；当一直角边长为，另一直角边长为时，斜边长为。综上，第三边的长为或或。1.4. 类比与归纳的思想方法类比思想方法是指根据不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处，来联想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理的思想方法.其特点是从特殊到特殊的推理方式. 例如：从分数性质到分式性质；从全等三角形到相似三角形等.归纳思想方法是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法.其特点是由特殊至一般的推理方式. 例如：个点分割直线为个部分，个点分割直线为个部分，个点分割直线为个部分，个点分割直线为个部分，个点分割直线为个部分，个点分割直线为个部分.类比与归纳的思想方法活动过程如下：研究对象 形成命题证明1.5. 数学建模的思想方法所谓数学建模的思想方法是根据所研究问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言表示的一种数学结构，中学数学中常用的数学模型有：图形、图象、表格和数学表达式，具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型和统计模型.数学建模的思想方法一般原则：简化原则、可推演原则、反映性原则。例1：某商店某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖了两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？解：建立数学模型（1）问题分析假设一件衣服的进价是元，以元卖出，卖出后盈利，那么这件衣服的利润是多少元？假设一件衣服的进价是元，以元卖出，卖出后亏损，那么这件衣服的利润是多少？（2）模型建立问题1 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？盈利：销售价进价问题2 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是亏损的？亏损：销售价进价问题3 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时不亏不盈？不亏不盈：销售价=进价问题4 你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？利润=销售价-进价问题5 你发现利润、进价、利润率之间有怎样的关系？利润=进价利润率问题6 你发现销售价、进价、利润率之间有怎样的关系？销售价-进价=进价利润率（3）模型求解设盈利的那件衣服的进价是元，那么它的利润就是元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程，解得。设亏损的那件衣服的进价是元，那么它的利润就是元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程，解得。于是120，所以卖出这两件衣服总的是盈利的。1.6. 整体的思想方法 所谓整体的思想方法是指将有共同特征的某一类问题看成一个完整的整体，通过对其全面深刻的观察，着眼于问题的整体结构上，从整体上把握问题的内容和解决的方向及策略。.例1：解方程组 。分析：如果选用代入法解答，可把方程组中的其中一个式子变换一下即可把第一个式子记为第二个式子记为。由可得，再代入得：由此我们可用看出解答起来十分麻烦。如果选用加减法，比如-可消去，得形式也很复杂，不易求解。注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两个方程相加，+，得化简得： 再将两个方程相减，-得 即由、组成方程组得，解这个方程组得。例2：解方程。分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁琐，根据方程特点，我们采用整体换元，将分时方程转化为正式方程。解：设，则方程变形为，即，解得：，。所以或，从而解得，。经检验，都是原方程的解。1.7. 方程的思想方法 所谓方程的思想方法是指在研究数学问题时，从问题中的已知量和未知量之间的数量关系中找出相等关系，运用数学语言将这种相等关系列出方程（组），然后解方程（组），从而使这个数学问题得解.其特点是将繁琐的过程简单化，殊殊的问题一般化. 例1：单项式 与是同类项，求的值。分析：这是一个同类项的知识，通过观察可以看出该问题最终是转化为方程的思想来解，解：与是同类项由、可组成关于、的二元一次方程组，解方程组的，。例2： 一次函数的图像与轴和轴分别相交于点，试确定这个一次函数的解析式。分析：本题看似函数的知识，但是最终还是把其转化为方程的知识。解：（1）由函数图像与轴和轴分别相交于点，得由，可得关于，的方程组，解方程组得：，。所以一次函数的解析式为： 。1.8. 统计思想方法 所谓统计思想方法：是通过样本来推断总体，是关于如何收集数据、整体数据、描述数据、分析数据，如何解释数据统计结果的思想方法. 例1: 从甲、乙、丙三个厂家生产的产品中，各抽出件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）甲：乙： 丙：三个厂家在广告中都称自己的产品的使用寿命是年，请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种几种趋势的特征数？分析：分别计算出三个厂家抽查产品的平均数、众数、中位数即可。解：甲：平均数= =6.5，众数，中位数。乙：平均数= =8，众数，中位数。丙：平均数= =7.37500，众数,中位数。所以甲是用众数做宣传，乙是用平均数做宣传，丙是用中位数做宣传。例2： 快乐公司决定按照如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买件同种产品，已知这三个工厂生产的产品的优品率如下表所示。甲乙丙优品率（1）求快乐公司从丙厂应购买多少件产品？（2）求快乐公司所购买的件产品A的优品率；（3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的产品比例，使所购买的件产品的优品率上升，若能，请问应从甲厂购买多少件产品？若不能，请说明理由。解：（1）由图可知丙厂：(件)。（2）甲厂：（件） 乙厂：（件）优品率为：。（3）能。设从甲厂购买件，从乙厂购买件，则从丙厂购买（件，由题意得：。，又、均为整数，当时；当时；当时；当时。1.9. 符号化的思想方法 所谓符号化的思想方法：是指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和命题等，是方程思想方法的基础.例如/*：、=、( )、 、%、 、 、 、 、 等等。1.10. 函数思想函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函数可以将两个或两个以上的量联系起来进行分析，得到量与量之间的变化关系。所以在初中学好函数是今后再一次学习函数的基础。所谓函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。因此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出研究对象，抽象其数量特征，建立函数关系。例1: 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶。已知油箱中的余油量与行驶时间的关系如下表，与行驶路程的关系如表所示，请根据这些信息求型车在实验中的速度。行驶时间油箱中余油量6852分析：先根据函数图像求出函数解析式，然后在一定范围内去一个余油量在表格中计算出时间，在图像中计算出路程，两者相除即可得速度解：在图像中，设直线解析式方程为带入两点（0,100），（500,200）得 ， 解得=，。当时，；当时，。由表格可知：余油量从到，行驶时间是，行驶路程是在型汽车的速度为。例2 某服装公司试着销一种成本为每件元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似地看作一次函数如图所示（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为元 ，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？解：（1）与的函数关系式 解得。（2），即，由题意知。=， 函数的图像开口向下，对称轴是直线，当时，最大值=。2. 初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透数学大纲对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”的数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。有些数学思想在大纲中并没有明确提出，比如:化归思想是渗透在学习新知识和应用新知识解决问题的过程中的，而方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法，教师在教学过程中要激发学生学习数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现，提出、分析并创造性地解决问题。在教学中要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解“的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用“的层次，否则，学生初次接触会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心10。作为老师传授给学生的是一种思想而不应该是传授给他们死的东西，这就是人们常说的“授之予渔，不如授之于渔。”，所以在教学中重视数学思想方法的教学是及其重要的，具体说应做到一下几点：2.1. 提高渗透的自觉性作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。2.2. 把握渗透的可行性数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。2.3. 注重渗透的渐进性和反复性。在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的，其次要注意渗透的长期性。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领会。总之，在数学教学中，只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想，同时注意渗透的过程，依据课本内容和学生的认知水平，从初一开始就有计划的渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。3. 进行数学思想方法教学时应注意的问题3.1. 避免盲目性无论做什么事情，我们都不应该盲目的去做，在做事情之前要进行一番思考，明确做每件事情的目标和方向，盲目的做事往往是收不到预期效果的，教学也不例外。所以在进行数学思想方法教学时一定要避免盲目地进行。作为老师不是为了“教”而“教”，应该是为了学生的“学”而“教”。要想避免这种现象的出现，在进行数学思想方法教学中除了要把握教材、认真备好课、充分地了解学生的思维模式外。还应当理解数学思想方法在学习过程中的作用，教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。3.2. 注重衔接的自然性教学是一门艺术，不同的人会勾画出不同的图案。在进行数学思想方法教学时，注重衔接的自然性是教学的一大技巧，教师在教学中应当是自然而然的引入数学思想方法，而不是死搬硬套的将这思想方法灌输给学生，只有这样学生掌握起来才感觉到不困难，而且还能很轻松地把这些方法应用到解题中去。3.3. 注重适时性在教学过程当中，适时渗透数学思想方法也是一个关键。数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理