初三数学复习专题：圆精品文档.doc

初三数学 复习（八） 圆一、复习要求理解并掌握圆的基本性质，特别是对圆的对称性的认识，直线和圆的位置关系是复习的重点，把圆的知识与其它知识相结合（如相似三角形、解直角三角形等）是解决问题、学会方法的关键二、知识结构 圆心、半径、直径 有关概念 弧、弦、弦心距 三角形的外接圆、圆的内接三角形、四边形、正多边形 圆 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的基本性质 圆的对称性 垂径定理及其逆定理 圆心角定理 等分圆周 圆的旋转不变形 正多边形 圆周角定理及其逆定理 直线与圆的相切 切点、切线、切线长定理 圆与直线 直线与圆相交 割线、割线定理（切割线定理） 两圆的连心线 圆与圆 两圆的公切线 两圆的公共弦 1.轴对称性在圆中得到充分的表现，理解并掌握对称性对理解、运用圆的的一些性质是十分重要的，从下面的几个图形中，你从直观的图形即可对定理的内容一目了然 垂径定理：直径AB垂直于弦 CD，则 PCPD，BCBD，ACAD. 切线长定理：PA、PB是O的切线， A、B为切点，则PAPB，PO平分 APB. 若O1和O2相交于点A、B.则O1O2 垂直平分公共弦AB. 若AB、CD是O1、O2的两条公切线 （A、B、C、D为切点），则ABCD. 2.与圆有关的角我们知道，圆心角、圆周角和弦切角是与圆有关的角，在同圆或等圆中，这些角的度数与它们相应的弧联系在一起的，因此，要重视这些角之间的关系和它的应用特别是“同弧所对的圆心角是圆周角（或弦切角）的2倍”，“直径所对的圆周角是直角”等更有用处例 如图，ABC中，A52o，O是AB、AC的垂直平分线的交点，则OCB o.若是利用三角形的内角和等于180o，是可以求得OCB的度数，但是如果从垂直平分线的交点联想到外心、外接圆，那么解题将会更有新意 A52o， BOC104o.则OCBOBC38o.3.相交弦定理、割线定理（切割线定理）也应当是复习中的重要内容，首先应当清楚，这些定理的获得都是通过相似三角形因此它们是解决与圆有关的比例线段问题的重要手段例 如图，PT切0于点T，PAB、PAD是0的割线，弦AB35cm，AC:DB1:2，求PT的长解 PACPDB, .则 2PAPD50PC. 2PCPB35PA.解得 PA45，PC40.由切割线定理得，PT2PAPB4580则 PT60.这些定理的应用十分广泛，它不仅可以解决线段成比例的问题，而且对证线段相等，两角相等以及两直线的平行、垂直等问题也起到不小的作用例 如图，ADB和AEC都是O的割线，APED，交CB的延长线于点P，PF与O相切于点F.求证：PFPA.分析 由切割线定理知，PF2PBPC. 要证PFPA，即证PA2PBPC因此，只要证得PABPCA即可证明 四边形BCED内接于O , ADEC.又 APED，PABADEC.在PAB和PCA中， PABC，APBCPA， PABPCA.则PA2PBPC由切割线定理，得PF2PBPC PA2PF2，即 PAPF.4.圆中有不少基本图形，这些图形对证题、解题都会带来一些有规律的方法，因此了解它们无疑是有帮助的，下面举出两例供大家复习参考，并请你想想，是否还有其它有规律的图形呢？例 如图，直线l是半径为6cm和2cm两圆的外公切线，当两圆外切时，外公切线长为 cm，两条外公切线的夹角为 o. 从左图中不难得出， 在RtO1O2M中， O1O2628(cm) O1M624(cm) 则 外公切线长ABO2M 4(cm) 或 sinO1O2M, O1O2M30o.则 ABO2MO1O2 cos30o84(cm).由O2MAB知APO1MO2O130o；由圆的轴对称性知APE60o.从此题中可见，当两圆相交、外切或外离时，通过平移外公切线的方法，就一定可以得到一个直角三角形，它的三条边分别为两圆半径差、外公切线长和圆心距（斜边），只要这个直角三角形是可解的，那么许多问题将会迎刃而解例 已知：如图，O和O1相交于点A、B，O1过O点，P是O1上的一点，连结PA、PO、OA，PO与AB相交于C点求证：OA2OCOP证明 连结OB. OAOB， BOAB.又 PBAO 的度数 POAB.在AOC和POA中， POAB，AOPCOA， AOCPOA.则，即 OA2OCOP从此题中可见，当一圆通过另一个圆的圆心时，就一定会获得以下的结论如图，若O1和O2相交于A、B两点，且O1经过点O，则有：(1)AO2BO2 AO2BO2；(2)APO2BPO2ABO2BAO2；(3)AO2CPO2A O2A2O2CO2P；BO2CPO2B O2B2O2CO2P. 练 习一、填空题1.已知两圆内切，一个圆的半径为3，圆心距为2，那么另一个圆的半径是 2.AB是O的弦，P是AB上的一点，若AB10cm，PA4cm，OP5cm.则O的半 径为 cm.3.要在圆形铁片截出边长为8cm的正方形铁片，选用的圆形铁片的最小直径为 cm.4.如图，PA切O于点A，O的半径为3cm，OP6cm，则PA cm. (第4题) (第5题)5.如图，AB为O的直径AC为弦，ODBC，交AC于点D，AC6cm，则DC cm.6.如图，在以AB为直径的半圆上，过B点作半圆的切线BC，若ABBCa，连AC 交半圆于点D，则图中阴影部分的面积为 (第6题) (第7题) 7.如图，PAB、PCD是O的两条割线，分别交O于A、B和C、D，已知PCCD 2，PA1,则弦AB的长为 8.如图，AB切O于点A，OC为O的半径，C50o，则BAC o. (第8题) (第9题) 9.如图，AC是O的切线，A为切点，AOB70o，半径OA6，则BAC o， 扇形OAmB的面积等于 （结果可保留p）.10.如果两圆的圆心距等于2，半径分别为R和r，并且R、r是方程4x220x210 的两根，那么这两圆的位置关系是 二、选择题11.如图，AB是O的弦，C是AB上的一点，且BC:CA2:1，连结OC并延长交 O于点D，若DC2cm，OC3cm，则圆心O到弦AB的距离为（ ） .6cm .(9)cm .cm .(253)cm12.如图，已知AB是圆O的直径，AB5，弦BC4，ABC的平分线交半圆于点D， AD、BC的延长线相交于点E，则四边形ABCD的面积是DCE面积的（ ） .9倍 .8倍 .7倍 .6倍 (第12题) (第13题) 13.如图，D为RtABC的直角边AC的一点，过点D作斜边AB的垂线交AB于点E， 交ABC的外接圆于点P、G,交BC的延长线于F，则下列各等式中不成立的是 （ ） .EPEGAEEB .EG2EAEB .FGFPFCFB .BF2BEBA14.如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则ADE 的面积与ABC的面积的比值为（ ） .sinA .sin2 A .cosA .cos2A15.如图，O1、O2的外公切线MD、NE交于点A，M、D、N、E为切点，内公切 线PQ交AD、AE于点B、C，P、Q为切点，已知AD.那么ABBCCA等 于（ ） . . . .2 (第15题) (第16题) 16.如图，ABC的高BE、AD交于点H，AD的延长线交ABC的外接圆于F，M是 BC的中点，BD5， CD3，HD2，则MF等于（ ） . . .4 . 三、解答题17.如图，已知：AB是O1的直径，C是O1上的一点，以AC为直径作O2，交AB 于点D，过点C作O1的切线，交O2于点E，直线ED分别交O1于点F和G 求证：(1)CECD；(2)EFEGFDDG. (第17题) （第18题） 18.如图，已知：过BAC的顶点A作O，交角的两边于点B、C，O交该角的平 分线于D，DE切O于点D，交AC边于点E. (1)求证：BD2ABCE； (2)若BD3，DECE12，求DE的长答 案 或 提 示一、填空题1. 5或1 .（注意两种情况，即半径为3的圆可能是大圆，也可能是小圆）2. 7 . 设半径为r, 则PCr5，PDr5， (r5)(r5)46 则 r7. 3. 8 cm.4. PA3 cm.5. DC 3 cm.6. 阴影面积为 a2. （提示：连结BD，则阴影面积等于BDC的面积）7.弦AB长为 7 .8.BAC 40o .（提示：连结OA，则OAAB）9.BAC 35o .扇形OAmB的面积等于 7p .10. 内切 （提示：解方程得x1，x2，即R7/2，r3/2，因为Rr2， 所以两圆内切） 二、选择题11.（）（提示：设ACx，则BC2x，由相交弦定理求得x2）12.（）.（提示：可知ABE与EDC是两个相似的等腰三角形，所以EC1连结AC， 则AC3，AE）13.（）（注意审题，不成立的是）14.（）（提示：ADEACB， .连结BE，则cosA）15.（）.（提示：ABBCCAABBPPCCAADAE2AD2）16.