二次函数的应用7

(20070911183105609874)第19道（2007江苏南通课改，15分）已知等腰三角形的两个顶点分别是，第三个顶点在轴的正半轴上，关于轴对称的抛物线经过，三点，且点关于直线的对称点在轴上（1）求直线的解析式；（2）求抛物线的解析式及点的坐标；yxABDO（3）点是轴上一动点，求的取值范围答案：解：（1），是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，2分设直线的解析式为，直线的解析式为4分（2）抛物线关于轴对称，5分yxABDOCPMQ又抛物线经过，两点解得抛物线的解析式是7分在中，易得在中，易得是的角平分线直线与轴关于直线对称点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点8分点在直线：上，故设点的坐标是又点在抛物线上，解得，故所求的点的坐标是，10分（3）要求的取值范围，可先求的最小值I）当点的坐标是时，点与点重合，故显然的最小值就是点到轴的距离为，点是轴上的动点，无最大值，13分II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短易求得的最小值是6同理没有最大值，的取值范围是综上所述，当点的坐标是时，当点的坐标是时， 15分(200709111831083590)第20道（2007江苏泰州课改，14分）如图，中，它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒（1）求的度数（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图），求点的运动速度（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由（图）ACBQDOPxy3010O5tS（图）答案：（1）2分（2）点的运动速度为2个单位/秒4分（3）（）6分当时，有最大值为，此时9分（4）当点沿这两边运动时，的点有2个11分当点与点重合时，当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，作交轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而图所以当点在边上运动时，的点有1个13分同理当点在边上运动时，可算得而构成直角时交轴于，所以，从而的点也有1个所以当点沿这两边运动时，的点有2个14分(20070911183110921200)第21道（2007江苏无锡课改，10分）如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）xyOlBPMA答案：解：（1）轴1分理由：中，2分设交于点，交轴于点，矩形的对角线互相平分且相等，则，过点作轴于，则，轴3分（2）设在运动过程中与射线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，则，4分当，即时，6分当，即时，设直线交于，交于，则，8分当，即时， 10分(20070911183112156977)第22道(2007江苏徐州课改，8分)某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由5m3m6m2m答案：（1）根据题意，可设抛物线对应函数关系式为1分该抛物线过点，2分抛物线对应函数关系式为3分（2）隧道高为，车与箱共高，其顶部所在直线为，4分代入上式，得，5分高处的隧道宽为6分因为，所以此车不能通过隘道8分(20070911183112984269)第23道（2007江苏扬州课改，3分）烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）答案：B(2007091118311442132)第24道（2007江苏扬州课改，12分）连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需秒，在这段时间内记录下下列数据：时间（秒）050100150200速度（米秒）0306090120路程（米）07503000675012000（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（）速度与时间的函数关系、路程与时间的函数关系（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同根据以上要求，至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求？（3）若减速过程与加速过程完全相反根据对问题（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离（米）与时间（秒）的函数关系式（不需要写出过程）答案：（1）通过描点或找规律，确定与是一次函数，与是二次函数，（2）由得当时，秒，则米千米米千米因为减速所需路程和启动加速路程相同，所以总路程为所以还需建千米（3）当时，当时，当时，（一般式为）(20070911183115968595)第25道（2007江西课改，8分）如图，在中，若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为AEDBC（1）求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？答案：解：（1），1分又，3分自变量的取值范围为4分（2）6分当时，有最大值，且最大值为8分（或用顶点公式求最大值）(20070911183119171751)第26道（2007江西课改，10分）实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；图4归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标答案：该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183122234191)第27道（2007辽宁大连课改，12分）已知抛物线（1）当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式的值为正整数，求的值；（3）当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点若点在点左边，试比较与的大小答案：解：（1）方法一：当时，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线2分方法二：当时，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线2分（2）代数式的值为正整数，函数的值为正整数又函数的最大值为，的正整数值只能为1或24分当时，解得5分当时，解得6分的值为，0或1（3）方法一：当时，抛物线过轴正半轴上的点，同理8分10分又点在轴的正半轴上，且点在点的左边，即12分方法二：抛物线的对称轴为，当时，此时抛物线的对称轴在轴的左侧又抛物线与轴相交于点，抛物线与轴的正半轴无交点不合题意8分当时，即， 经过点的抛物线的对称轴为，xyMN12O经过点的抛物线的对称轴为，10分点在点的左边，且抛物线经过点（此时两条抛物线如图所示）直线在直线的左侧，12分(20070911183128078508)第28道（2007辽宁大连课改，10分）如图1，直线交轴于点，交抛物线于点，点到各顶点的距离相等，直线交轴于点当时，在直线和抛物线上是否分别存在点和点，使四边形为特殊的梯形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由附加题（5分）：在上题中，抛物线的解析式和点的坐标不变（如图2）当，在直线和这条抛物线上，是否分别存在点和点，使四边形为以为底的等腰梯形若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由yxDO图2答案：解：如图：设直线的解析式为经过点，解得DCBAOxyE抛物线经过点，又点到各顶点距离相等，即点是三边的垂直平分线的交点，连结，并延长交于，点的坐标为在中，设直线的解析式为，设直线的解析式为，解得直线交轴于点，则点，当时，时，四边形为等腰梯形（如图）2分由题意得，为等边三角形，是直线与抛物线的交点，解得（舍），当时，点的坐标为，当时，点的坐标为4分时，四边形为直角梯形（如图）DCBAOxy过点且平行轴的直线交抛物线于点，解得（负值舍去）点的坐标为把代入直线中，得，点的坐标为6分当时，时，四边形是等腰梯形如图过点且平行于的直线为，交抛物线于点，解得或（舍）把代入中，得，点的坐标为（与点重合）又为等边三角形，设过点且平行于的直线，交于点，则，解得把代入中，点的坐标为8分时，四边形为直角梯形由上解法知，点的坐标（与点重合），过与垂直的直线为，设与的交点为，解得点的坐标为10分综上所述：当，和，（与点重合）时，四边形为等腰梯形；当，和，（与点重合）时，四边形为直角梯形附加题：解：由第26题知点，抛物线为，设为的中点，过点作垂直于轴，交直线于点DHOx附加题yQPG连接，设直线为解得直线直线与抛物线相交于点，解得（负值舍去）3分点的坐标为，4分点的坐标为5分(2007091118313079626)第29道（2007内蒙赤峰课改，14分）如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点（1）求此二次函数的解析式（2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标xyA（3，6）QCOBP答案：解：（1）解方程得1分抛物线与轴的两个交点坐标为：2分设抛物线的解析式为3分在抛物线上 4分抛物线解析式为：5分（2）由6分抛物线顶点的坐标为：，对称轴方程为：7分设直线的方程为：在该直线上解得直线的方程为：9分将代入得点坐标为10分（3）作关于轴的对称点，连接；与轴交于点即为所求的点11分设直线方程为解得直线：12分令，则13分xyA（3，6）QCOBP点坐标为14分(20070911183132546164)第30道(2007浙江台州课改,12分)善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好某一天小迪有20分钟时间可用于学习假设小迪用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图1所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益的关系如图2所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间（1）求小迪解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？Ox21Ox16410（图1）（图2）yy答案：解：（1）由图1，设当时，解得，Oxy21图1Oxy16410（第23题图2）A（2）由图2，当时，设当时，即当时，因此 （3）设小迪用于回顾反思的时间为分钟，学习收益总量为，则她用于解题的时间为分钟当时，当时，当时，随的增大而减小，因此当时，综上，当时，此时答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大(20070911183133859962)第31道（2007辽宁12市课改，14分）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC 1分A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（写错一个点的坐标扣1分）OMNHACEFDB8(6，4)xy（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4）， 则抛物线关系式为 4分将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得5分 解得6分所求抛物线关系式为：7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分 OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 10分 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG(20070911183137109978)第32道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183140078732)第33道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183142109987)第34道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183143921383)第35道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183145703151)第36道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183147484773)第37道（2007山东济宁课改，9分）某小区有一长100m，宽80m 空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元（1）设一块绿化区的长边为xm，写出工程总造价与的函数关系式（写出的取值范围）；（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由（参考值）答案：该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183148468281)第38道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(2007091118315018734)第39道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183151359358)第40道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183154343796)第41道该题格式出现错误，建议将其删除后再导出！(20070911183156031691)第42道（2007山东日照课改，10分）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线c来表示（）试求图（1）中线段l的函数关系式；并求出开发该小区的用地面积；（）求出图（2）中抛物线c的函数关系式.(20070911183232546343)第54道（2007四川绵阳课改，12分）已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值(20070911183234703692)第55道（2007四川绵阳课改，14分）如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设