数学分析(上).doc

数学分析（上）第四章 函数的连续性 第四章 函数的连续性 （ 1 2时 ） 1 函数的连续性 ( 2时 )一 函数在一点的连续性：1 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义 用 例如 1P87例1和例2, P88 例3. 定义 用 定义 用 先定义和定义 连续的Heine定义.定义 ( “”定义.)其他定义参阅3P39 Th.例1 用“”定义验证函数在点连续.例2 试证明: 若 则在点连续. 3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3 讨论函数在点的连续或单侧连续性.二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.例4 讨论函数的间断点类型.例5 延拓函数 使在点连续.例6 举出定义在0,1上且仅在点三点间断的函数的例.例7 讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.( 参阅Ch 3 习题课例3 ) 三 区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. Ex 1P9293 1 ，2 ， 36； 4P83 123. ( 改等为.) 2 连续函数的性质一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 14.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数在点连续，函数在点连续, 且, 则复合函数在点连续. ( 证 )註 Th 4 可简写为 例1 求极限 例2 求极限: 例3 求极限 的连续性见后.二. 闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 ) 2. 介值性: 定义介值.Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 ) 例4 证明: 方程 在到之间有实根. 例5 设是正数, 为正整数. 证明方程 有唯一正实根. 唯一性的证明用在内的严格递增性.三. 反函数的连续性: Th 7 若函数在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域或上连续. ( 证 )关于函数等的连续性 ( 1P99 E5,6.) Ex 1P101102 17，11，13； 4P83 125127.四 函数的整体连续性 一致连续：1 连续定义中对的依赖性 ：例6 考查函数在区间上的连续性.对 作限制 就有 对 , 取 这里与有关, 有时特记为.本例中不存在可在区间上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).例7 考查函数在区间 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该却与无关, 可记为.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对, 确证存在. 为此, 从不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含有和, 然后使所得式子, 从中解出 例8 验证函数 在内一致连续. 例9 验证函在区间 内一致连续.证 例10 若函数在有限区间内一致连续, 则在内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数在区间内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取与 便有 但 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz连续与一致连续:定义Lipschitz连续. 例12 函数在区间I上连续, 在I上一致连续. ( 证 )但函数在区间I上一致连续时, 未必有在I上连续. 例如: 函数在区间内一致连续. 为证明在区间内一致连续, 先证明不等式: 有不等式 事实上, 时, 同理, 时, 有利用该不等式, 为使 只要 却不是连续. 事实上, 倘存在, 使对 有 则当时，应成立 但若取 就有 矛盾.5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数在闭区间上连续, 在上一致连续. Ex 1P102 8，9，10. 3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的. 註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例1 求函数的连续区间和间断点.解 的连续区间为: 、和. 间断点为: 和. 在点右连续 .二. 利用函数的连续性求极限:例2 例3 作倒代换例4 解 I = 例5 解 I = Ex 1P107108 1，2； 4P8183 7881，120. 习 题 课 例1 设函数在区间上连续, 且 证明:在区间上至少存在某个 使 证 若, 取或即可; 若 不妨设 设, 应用零点定理即得所证.例2 设函数在区间上连续， 试证明： 使 例3 设 试证明：方程 在区间内有实根. 例4 设函数在内连续且 则在内有最小值.与比较. 例5 设函数和在区间I上连续, 且在I的有理点,有证明: 在I上. 例6 设函数和在区间I上一致连续. 证明函数在区间I上一致连续. 例7