近世代数测试题DE.doc

近世代数测试题（D）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,则= .2.无限循环群的生成元为 ;4阶循环群的生成元为 .3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.设是一个非空集合,则的幂集环的特征为 .6.模6的剩余类环的乘群阶数为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算题（10分）： 设，求与.三、证明题（20分）：设是一个群,证明: 1. 的全体内自同构作成一个群.2. .四、证明题（每题10分,共30分）：1设群中元素的阶为,证明:.1. 在整数环中,1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.2. 设是一个有单位元的整环,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.近世代数测试题（D）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1； 2. ，; 3. 4; 4. 3; 5. 2; 6. 2 ;7. 是 ; 8. .二、计算题（10分）： 设，求与.解：.,.三、证明题（20分）：见3.5节的定理3.四、证明题（每题10分,共30分）：1 设群中元素的阶为,证明:.证明: 若, 则, 又由于, 故 . 反之, 若有, 则由于, 故, 从而 .3. 在整数环中, 证明1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有 . 即, 因此 , 而 是显然的, 故.2) 由于，故， 因而，即. 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而, 因此.4. 设是一个有单位元的整环,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.证明: 1) 设, 则, 从而有, 使得, 于是. 若 则, 从而与当然相伴. 若, 则, 即为单位, 从而与也相伴.反之, 若与相伴, 则存在单位, 使得, 于是, 但, 故, 故.2) 设, 即 , 从而有1)知是单位.反之, 若是单位, 则, 从而 .近世代数测试题（E）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,且，则 .2.6阶循环群有 个子群.3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.模6的剩余类环的子环的特征为 .6.高斯整环的乘群为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算（10分）： 设，求与.三、证明题（20分）： 设是群的一个非空子集, , 证明:1. 是的子群.2. 是的正规子群.同态基本定理.四、证明题（每题10分,共30分）：1设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.2设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.3. 证明:整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.近世代数测试题（E）参考答案一、 填空题（每题5分，共40分）1 1）；2. 4；3. 6 ；4. 2；5. 3；6. ；7. 是 ；8. .二、计算题（10分）：设，求与.解：.=. 三、证明题（20分）：参见3.6节的定理6.四、证明题( 每题10分, 共30分) 1设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.证明: 设是的阶子群, 对任意的, 由于是的共轭子群, 因而也是的阶子群.由于的阶子群只有, 所以, 根据正规子群的定义, 知是的正规子群. 2设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.证明: , 因为 有逆, 所以, 即 .从而, 故 .3证明：整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.证明: 显然为整环且其单位只有. 其不可约元为全体(正、负)素数及次数大于0的本原不可约（在上）多项式。今在中任取. 显然 可惟一表示成, , 为本原多项式, 而且的最高次数为正整数.若为本原的, 则由高等代数