第3章导数的应用.doc

第3章导数的应用3.1罗必塔法则一教学目的及其重点和难点1掌握罗必塔法则，并能正确使用罗必塔法则求未定式的极限；2. 型、型未定式的极限计算是本节的重点； 3其它未定式的极限计算是本节的难点。二教学内容由下列两极限（1）；（2） 可知，如果当时，函数，则极限可能存在，也可能不存在。通常称这种极限为未定式，记为型，或型。下面介绍求这类未定式的一种有效的方法-罗必塔法则。3.1.1 第一法则（“”型）定理3.1.1 如果函数和满足条件： (1) ； (2) 在附近可导（点可除外），且； (3) 。则有。注：（1）如果还是“”型，只要仍满足定理1中的条件，则可连续使用罗必塔法则。依次类推。 （2）自变量的变化趋势可改为其他各种形式。例1 求。 解 。例2求。解 。 例3 求。 解。 例4 求。解 。3.1.2第二法则（“”型）定理3.1.2如果函数和满足条件： (1) ； (2) 在附近可导（点可除外），且； (3) 。则有。注：（1）如果还是“”型，只要仍满足定理1中的条件，则可连续使用罗必塔法则。依次类推。 （2）自变量的变化趋势可改为其他各种形式。例5求。解 。例6求。解 。注意：当导数比的极限不存在时，罗必塔法则失效（不是原极限不存在），应该用其他方法求极限。例7 求。解 使用罗必塔法则：（后者极限不存在）但：。3.1.3 其他未定型（等）转化为前面两种形式，再求极限。例8 求。解 。例9求。解 例10求。（注意） 解 例11求。解 三、自测题3.11. A. 1 B. 1 C. 0 D. 不存在2 _ A. 1 B. 1 C. 0 D. 3A. 1 B. 1 C. 0 D. 4_A.1 B. 1 C. 0 D. 5_A. B. C. 0 D. 3.2拉格朗日中值定理及函数的单调性一教学目的及其重点和难点1.了解拉格朗日中值定理的条件和结论及几何意义；2. 掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法；3函数的单调性的判断是本节的重点和难点。二教学内容3.2.1拉格朗日中值定理定理1（拉格朗日中值定理） 若函数满足：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间（）上可导则至少有一点,使得 或.定理的几何意义：如果连续曲线的弧AB上除端点外处处具有不垂直于轴的切线,那未孤上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.例1 验证函数在区间是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足求出符合定理的值.解 在上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.因为 并且,解方程 ,得取这说明在内有,使3.2.2 函数的单调性定理2(判定法) 设函数y=f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调增加; (2)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调减少.说明：判定法中的闭区间可换成其他各种区间。 确定函数的单调性的一般步骤是:（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数=0和不存在的点,并以这些点为分界点,将定义域分成若干个子区间；（3）确定在各个区间的符号,从而确定的单调性。例1 求函数的单调区间. 解： (1) 的定义域是 (2),令得：它们将定义区间划分为三个子区间：(3)列表确定的单调区间： + - + 其中符号 和 分别表示函数在相应区间内是单调增加的和单调减少的。由该表知：函数的单调增加区间为和,单调减少区间为。例2 讨论函数的单调性.。解： (1)该函数的定义域为 (2) =+=,令=0得,显然x=0为的不可导点,于是x=0, 分定义域为三个子区间,。（3）列表确定函数的单调性： + - + 即在和上单调增加,在上单调减小。三、自测题3.21函数 在 0，1 区间上满足拉格朗日中值定理的 _ B. C. D. 不存在2 函数在定义域内的单调分界点为.A. B. C. D. 3函数 的驻点是_A. B. C. D. 4下列函数中，在上满足拉格朗日中值定理条件的是_A. B. C. D.5函数 的单调减区间是_A.( ) B.( ) C.（ ，+ ） D.（ ，+ ）3.3 函数的极值与最值一教学目的及其重点和难点1. 理解函数的极值概念；2. 掌握利用导数求函数的极值的方法；3熟练掌握一元函数的最大值与最小值的应用题的求解方法。4.本节重点是最大值与最小值的应用题；难点是函数的极值。二教学内容3.3.1函数的极值1. 函数的极值的定义观察下图,函数在、的函数值、比它们近旁各点的函数值都大,而在点 、 的函数值、比它们近旁各点的函数值都小. 对于这种性质的点和对应的函数值,我们给出如下的定义：定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x0(a, b)。(1)如果在x0的某一邻域内有f(x)f(x0) , 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值,称x0是f(x)的极小值点；(3)函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.。注意：(1)函数的极大值和极小值概念是局部性的。（2）函数的极大值未必比极小值大.如上图,就比小.（3）函数的极值一定出现在区间内部,在区间端点处不能取得极值；而函数的最大值、最小值可能出现在区间内部,也可能在区间的端点处取得。（4）从上图可看到,在函数取得极值点处,曲线上的切线是水平的；反之,曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值.。2. 函数的极值的判定和求法定理1（必要条件） 设函数在点 处具有导数,且在 处取得极值,那么函数在点 处的导数为零,即。驻点：使函数导数为0的点（即=0的实根）叫函数 的驻点。注意：可导函数的极值点必定是驻点.反过来,函数的驻点却不一定是极值点。定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续, 在x0的左右邻域内可导. (1) 如果在x0的左邻域内f (x)0, 在x0的右邻域内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极大值; (2) 如果在x0的左邻域内f (x)0, 那么函数f(x)在x0处取得极小值; (3)如果在x0的某一邻域内f (x)不改变符号, 那么函数f(x)在x0处没有极值. 例4 求函数的单调区间和极值。解 （1）的定义区间为。 （2）。 （3）令，解得驻点。当时，不存在。用把定义区间化为三个区间。 （4）将结果列表如下：01+不存在-0+极大值0极小值定理4 (第二种充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)0, 那么，(1)当f (x0)0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 定理4表明, 如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f (x0) 0, 那么该点x0一定是极值点, 并且可以按二阶导数f (x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值. 但如果f (x0)=0, 定理4就不能应用. 求函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义区间； (2) 求出导数f (x)； (3) 求出f(x)的全部驻点及不可导点，并以这些点为分界点，划分定义区间为若干个小区间；(4) 列表确定f (x)在各个区间的符号，根据定理3确定极值点, 求出极值。若函数在驻点处又不为零的二阶导数，则可用定理4来确定对应的函数值是极大值还是极小值。 例5 求函数的极值。解 (1) 的定义区间为。 (2) ， 令，解得。 (3)由于，根据定理4，在处有极大值为2；在处有极小值为。 例6 求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值. 解 (1)f (x)=6x(x2-1)2. (2)令f (x)=0, 求得驻点x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f (x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f (0)=60, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. (5)因f (-1)=f (1)=0, 用定理4无法判别。因为在-1的左右邻域内f (x)0, 所以f(x)在-1处没有极值; 同理, f(x)在1处也没有极值。例7 求函数的极值. 解 (1)f(x)在(-, +)内连续, 除x=-1外处处可导, 且 ; (2)令f (x)=0, 得驻点x=1; x=-1为f(x)的不可导点; (3)列表判断x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)f (x)+不可导-0+f(x)0(4)极大值为f(-1)=0, 极小值为. 3.3.2 函数的最大值与最小值及其应用举例设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则函数的最大值最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值和最小值不在区间的端点取得, 则必在开区间(a, b)内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间a, b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间a, b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.因此，函数的最大值、最小值可按下面的方法求得。1、连续函数在a, b上的最大值和最小值的求法 （1）求出函数在内所有可能的极值点(驻点和不可导点);（2）求出函数在这些点处相应的函数值及端点的函数值,然后比它们的大小,其中最大者为函数的最大值,最小者为函数的最小值. 例8 求函数在上的最大值与最小值. 解 ,在内f(x)的驻点为，无不可导点，函数在驻点及端点的函数值为,，得最大值为64，最小值为0。 注意:：f(x)在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点x0 , 并且这个驻点x0 是函数f(x)的极值点, 那么, 当f(x0)是极大值时, f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值; 当f(x0)是极小值时, f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y2、实际问题中最值的举例在工农业生产、工程技术及科学实验中, 常常会遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题, 这类问题在数学上通常可归结为求一函数在某一区间上的最大值或最小值问题. 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0, 那么不必讨论f(x0)是否是极值, 就可以断定f(x0)是最大值或最小值. DA20kmBC100kmD20km100kmx例9 设工厂到铁路的垂直距离为20千米，垂足为，铁路线上距点100千米处有一原料供应站C。现在要铁路线BC之间某处D修建一个车站，再由车站D向工厂A修筑一条公路，问D应在何处，才能使得从原料供应站C，途经中转站D，运到工厂A的运费最省？（已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5） 解 设BD=x (km), 则 DC=100-x , . 设从A点到C点需要的总运费为y, 那么 y=5kAD+3kDC (k是某个正数), 即 +3k(100-x) (0x100). 现在, 问题就归结为: x 在0, 100内取何值时目标函数y的值最小. 先求y对x的导数: . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k为最小, 因此当BD=x=15km时, 总运费为最省。例10要做一个容积为的有盖的圆柱体容器，应怎样设计尺寸，才能使所用材料最省？解 设容器底半径为，高为，表面积为，则，由圆柱体的体积公式得 所以 令，得驻点 所以当底的半径，圆