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数学分析教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系3 平面曲线的弧长与曲率教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式教学过程：一、曲线弧长的概念设平面曲线，在其上从到依次取分点得曲线的一个分割： 用线段联结相邻的点得：。记 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1 对于平面曲线的无论怎样的分割，若极限 存在，则称曲线是可求长的，并称为曲线的弧长。二、参数形曲线的弧长的计算公式定义2 设平面曲线若与在上连续可微，且与不同时为零，则称为一条光滑曲线。定理1 设平面曲线为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为 证： 对作任意分割： ，并设分别对应与，且于是与对应地得到区间的一个分割在上应用微分中值定理得 从而有 由为一光滑曲线知，与是等价的。又由在上连续从而可积，因此由定义1，只需证明 （*）记则有 由三角不等式易证 又因在上连续，从而一致连续，故当时，只要，就有 于是有 由此及（*）式知，所证公式成立。例1、求摆线一拱的弧长。解： 由公式 得 =三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式若曲线：，则当在上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为 例2、求悬链线从到一段的弧长。解： 由公式得 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式设曲线：将其化为参数形： 当在上连续，且与不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为 例3、求心形线的周长。解： 由公式得 注意：若定理1中公式的上限改为变量，则有
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