高等数学教学教案§11. 5 对坐标的曲面积分.doc

六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：1532737611711. 5 对坐标的曲面积分授课次序72教 学 基 本 指 标教学课题11. 5 对坐标的曲面积分教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点对坐标的曲面积分的概念与性质教学难点概念的引入与性质的推导计算公式参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ；积分：integral；重积分：multiple integral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integra课堂教学目标1 了解对坐标的曲面积分的概念、性质；2 了解两类曲面积分的关系；3 掌握计算对坐标的类曲面积分的方法。教学过程1对坐标的曲面积分的概念、性质（35min）；2计算对坐标的类曲面积分的方法（35min）；3两类曲面积分的关系（20min）教 学 基 本 内 容11. 5 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosa, cosb, cosg)为曲面上的法向量, 在曲面的上侧cosg0, 在曲面的下侧cosg0, 在曲面的左侧cosb0, 在曲面的后侧cosa0. 设S是有向曲面. 在S上取一小块曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(Ds)xy.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为 , 其中cosg0也就是(Ds)xy=0的情形. 类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)给出, S是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量, 即流量F. 如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v, 又设n为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 当(v,n)时, 这斜柱体的体积为 A|v|cosq=A vn.当(v,n)时, 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量F为零, 而Avn=0, 故F=Avn;当(v,n)时, Avn0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一点, 故zi=z(xi, hi). 从而有 . 令l0取上式两端的极限, 就得到. 同理当S取下侧时, 有 . 因为当S取上侧时, cosg0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 当(xi, hi, zi)S时, zi=z(xi, hi). 从而有 . 同理当S取下侧时, 有 . 这是因为n=(cosa, cosb , cosg), , , . 类似地, 如果S由x=x(y, z)给出, 则有. 如果S由y=y(z, x)给出, 则有. 应注意的问题: 应注意符号的确定. 例1. 计算曲面积分 , 其中S是长方体W的整个表面的外侧, W=(x, y, z) |0xa, 0yb, 0zc ). 解: 讲解要点：1、边界曲面的区分；2、投影区域的确定；3、0的确定 例2 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外侧在x0, y0的部分. 解 讲解要点：1、球面方程的变化；2、投影区域的确定；3、奇偶对称性在这里的变化 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续. 如果S取上侧, 则有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦为 , , , 故由对面积的曲面积分计算公式有 . 由此可见, 有 . 如果S取下侧, 则有 . 但这时, 因此仍有 , 类似地可推得 , . 综合起来有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影. 化一公