素材：2011扬州市高中优秀学业质量监测专题资源-数学解三角形高邮中学邹广银.doc

附件2：扬州市高中优秀学业质量监测专题资源包评审申 报 材 料专题名称 解三角形 所属学科 数学 作者姓名 邹广银 工作单位 高邮中学 联系电话 84963057 申报时间 2011年4月20日扬州市教育局二一一年三月制解三角形基本目标1、知识和技能目标：掌握正弦定理、余弦定理，能用正弦定理、余弦定理解与三角形有关的问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题；2、过程与方法：在正弦定理、余弦定理的推导与应用中，以探究的方法来发现正弦定理、余弦定理，注重从特殊到一般、再从一般到特殊的学习方式的培养，引导学生从猜想、验证到证明等环节自主探究，从而培养学生良好的学习习惯。让学生在学习数学和运用数学解决问题的过程中，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、反思与建构等思维过程。在教学中加强数形结合思想、方程思想、转化思想等数学思想方法的学习、培养与应用。3、情感、态度、价值观：在教学中，培养学生的自主学习和自主探索的能力，体会特殊与一般的思维规律在其中的体现，感受数学的统一美、和谐美，强化学生的实践能力和数学建模能力。重难点诠释重点：正弦定理、余弦定理的应用；正弦定理、余弦定理是解斜三角形的有力武器，根据不同的条件来选择正弦定理、余弦定理解决问题是本部分内容的一个重要体现，尤其是结合三角形中的内角和定理、三角形的面积公式等知识解决与测量学、力学、运动学以及几何计算等问题是本内容的重中之重。难点：正弦定理、余弦定理与三角函数知识及平面向量的知识的综合应用。 正弦定理、余弦定理与三角函数知识的综合是本内容的一个重要体现，这里，三角形就成了知识的载体，正弦定理、余弦定理及三角变换、恒等变形就成了解决问题的工具，如何合理、正确地应用这些工具就成了解决问题的关键所在；将正弦定理、余弦定理等与平面向量知识相结合，向量就成为问题的“包装”，本质还在于正弦定理、余弦定理及三角变换、恒等变形等，故而正弦定理、余弦定理的应用理应成为学习中的难点。解三角形诊断性测试题一、填空题：（本大题共计14题，每小题5分，共计70分）1已知中，则的面积等于。2在中，若，则 。3在中，已知，则 。4在中，已知，则三角形的最大角与最小角的和是 。5在中，已知，则 。6在中，已知三边满足，则 。7.在中，已知，则 。8. 如图，两座相距的建筑物的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角为 。9. 在中，角的对应边分别是，若，则角的取值范围是。10. 在中，内角的对边分别是，若，则 。11. 在中，已知，则 。12. 已知锐角三角形的三边长分别为，则的取值范围是。13. 在中，则的值为 。14. 如图，平面四边形中，,，则 。二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）15. （本小题满分14分）在中，已知，试判断的形状。16（本小题满分14分）在中，角的对边分别是，且。（1）若的面积等于，求的值；（2）若，求的面积。17. （本小题满分15分）在中，已知。（1）求边的长；（2）若为的边上的中线，求的长。18（本小题满分15分）某人在汽车站的北偏西的方向上的处（如图所示），观察到处有一辆汽车沿公路向站行驶，公路的走向是站的北偏东。开始时，汽车到处的距离为，汽车前进后，到处的距离缩短了。问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站？19. （本小题满分16分）在中，已知最大角是最小角的倍，且三边长为三个连续的整数，求的值。20（本小题满分16分）当今社会，合作越来越重要，为有效地开发空间资源，现多国航天部门计划在太空的圆形轨道上合作建设四个空间站（如图所示），其中四边形的内部称为太空站的可控区域。若建成后的空间站满足：，试求建成后空间站的可控区域的大小。解三角形诊断性测试题解析及答案一、填空题：1答案：。解析：。2答案：。解析：由于，故由得：。3答案：。解析：由得。4答案：。解析：由得，所以。5答案：或。解析：由得，从而或，当时，；当时，。6答案：。解析：由得，故，从而。7.答案：。解析：将代入化简等于，故。8答案：。解析：由图知中，则，过点作，垂足为，则，在中，故。9答案：。解析：由得，由于，从而，又，故，因此。10答案：。解析：由正弦定理及得，故，从而，得。11答案：。解析：由，得，从而，由得。12答案：。解析：由为三角形的三边，所以，故。又三角形为锐角三角形，所以，即，因此，的取值范围是。13答案：或。解析：依题意有：， 故，由正弦定理得，若为锐角，则，；若为钝角，则，。14. 答案：。解析：在中，有，即，从而，故在中，所以。二、解答题：15. 解析：令，则，从而：，即，从而得，故。又由得：，所以，即：，所以，代入得，从而为正三角形。16解析：（1）因为，所以，又由余弦定理：，上述两式联立解得。（2）因为，所以由正弦定理得，与联立解得，从而。17解析一：（1）因为，所以，由得：，由于，所以，从而，故由得：。（2）由余弦定理，从而。解析二：（1）由得，解得或（舍去）（2）由余弦定理，所以，从而。18解析：设汽车前进后到达处，在中，由余弦定理得：，则。所以，在中，由正弦定理得：，从而有。答：汽车还需行驶，才能到达汽车站。19解析：由题意设的值分别为，则：因为，所以，化简得，由正弦定理得，又，由联立解得，所以的值分别为。20.解析：连结，则：在中，在中，因为，故，根据以上两式得：，即。又因为，所以。从而。答：建成后空间站的可控区域的大小为。解三角形形成性测试题一、填空题：（本大题共计14题，每小题5分，共计70分）1在中，则三角形中最短边的边长等于 。2设的内角的对边分别为，若，则的值为 。3在中，角的对边分别为，且，则的值为 。4在中，已知，则是 三角形。5.在中，如果=568，那么此三角形最大角的余弦值是 。6如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点，望对岸的标记物，测得，则河宽为 。7. 在中，则 。8. 在中，的面积为，则 。9如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，高度为米的电视塔，在处测得塔顶的仰角为，则塔顶到水平面的距离约为 米（保留一位小数，如需要，取)10在中，若，则边的长等于 。11在中，分别为的对边，则的值是。12在中，若此三角形只有一解，则的取值范围是。13在中，为边上一点，若的面积为，则_。14. 如图，在中，一条直线与边分别交与点，且分的面积为相等的两部分，则线段长的最小值为 。二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）15（本小题满分14分）在中，内角的对边长分别为、，已知，且，求。16（本小题满分14分）已知的周长为，且。（1）求；（2）若的面积为，求的度数。17（本小题满分15分）在中，其中为的内角，为角所对的边。 （1）求角的大小； （2）若，求的面积。18（本小题满分15分）在中，已知，判定的形状。19（本小题满分16分）在中，已知。（1）若，求的面积；（2）若为的角平分线，试求的取值范围。20. （本小题满分16分）如图，在位于高出海平面的小岛上的观测站处，观察到海面上有缉私船甲与可疑船乙，甲船在正东方向俯角为的处，乙船在北偏东方向俯角为的处，其中。（1）求甲乙两船之间的距离；（2）若乙船正以的航行速度沿正东方向匀速行驶，甲船沿直线方向以（）的航行速度匀速行驶，试设计甲船的航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得甲船能以最短时间与乙船相遇，并说明理由。解三角形形成性测试题及解析、答案：一、填空题1答案：。解析：因为，所以最短边为，由得。2答案：。解析：由余弦定理得：，解得：（负值已舍去）。3答案：或。解析：由代入题设条件得，故或。4答案：等边。解析：由与推得，由于，故，即5答案：。解析：由=568及正弦定理得，所以设三边分别为，。6答案：。解析：因为，所以，故，在中，。7答案：。解析：由正弦定理得，解得，又因为，所以，故，所以。8答案：。解析：由得，从而，所以，又由得，故。9答案：。解析：在中，有，故，在中，故。10答案：。解析：由题知，得，故。11答案：。解析一：因为，所以，故。解析二：从问题可以看出，问题的结果与三角形的形状无关，所以应用特殊化思想，取，则可得结果为。12答案：。解析：由，要使此三角形有一解，必须使或，即或。13答案：。解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以。14答案：。解析：设，则：因为，所以 ，故，又。从而。二、解答题15解析一：因为，所以由正弦定理及余弦定理有:，化简并整理得：。又，所以，解得。解析二:由余弦定理得: ，又,，所以又，所以，即：，故由正弦定理得，从而由，解得。16解析：（1）令，则，代入得：，又，所以。（2）由（1）得，又，故，所以，又，故，所以的度数为。17解析：（1）因为，所以，化简得：，即，因为，所以。（2）因为，由得，即：，又，故，所以。 18解：因为，所以，化简并整理得：解析一：因为，故式可化为，将代入化简整理得：，故或，即：或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形。解析二：因为，故式可化为，因为，故，即，因为，所以或，即或，从而三角形为等腰三角形或直角三角形。19解析：（1）因为，所以，从而。故。（2）设，则，即：。在中，在中，而，故，从而，在中，在中有，故，即，所以。20解析：（1）设点的正下方的海平面处为点。则在中，因为，所以；在中，因为，所以。在中，故，所以。即甲乙两船相距。（2）如图所示，设小时后，甲、乙两船在处相遇。在中，因为，所以，从而，又，所以，从而，因为，所以。在中，即，因为，所以，从而。又时，。故时，取得最小值，且最小值为。此时，在中，有，故可设计航行方向如下：航行方向为北偏东，航行速度为，甲船能以最短时间与乙船相遇。解三角形终结性测试题一、填空题：（本大题共计14题，每小题5分，共计70分）1在中，则此三角形的形状是 三角形。2如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与。测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高 米。 3在中，分别为三个内角的对边，设向量，若，则角的大小为 。4在中，已知的面积为，则的长为 。5 在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为 。x。k.Com6. 已知分别是的三个内角所对的边，若，则 。7已知锐角三角形中，边长满足，且，则另一边长= 。8在ABC中，角A、B、C的对边分别为、，且，则角B的大小是 。9在中，且的面积，则的值为 。10在锐角中，则的取值范围为。 11在中，已知，则 。12已知平面向量满足，且与的夹角为120，则的取值范围是_。13在斜三角形中，的对边分别为，它的面积为，且，则=_。14已知等腰的腰上的中线长为，则三角形的面积的最大值是 。二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）15（本小题满分14分）在锐角ABC中，角的对边的长分别为已知， 。（1）求的值；（2）求的值。16（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，。（1）求的值；（2）求的面积。17. （本小题满分15分）一小孩在某风景区玩耍，不慎将湖边一只救人的小船缆绳放开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成角（假设湖岸为直线），其中，速度为；救生员及时发现，立即从同一地点开始追赶小船，已知救生员在水中游的速度为，所以他只有先在岸上追赶一段时间后，再跳入水中追赶若干时间。若救生员在岸上以的速度追赶20分钟后，跳入水中追赶，试问他能否追上小船？如果能，则还需多少时间追上小船？如果不能，请说明理由。18（本小题满分15分）在中，内角的对边分别为，已知成等比数列，且（1）若，求的值；（2）求的值19. （本小题满分16分）在锐角ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且。（1）求A的大小；（2）求的取值范围。20（本小题满分16分）设的三个内角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，试求的最小值.解三角形终结性测试题命题双向细目表、解析、答案题号考查内容难度（A，B,C）1正弦定理、余弦定理A2正弦定理的实际应用A3向量垂直与余弦定理A4三角形面积与余弦定理A5三角变换与正弦定理A6三角形内角和、正弦定理、边角关系A7三角函数值求角、余弦定理A8三角变换、余弦定理、三角函数值求角B9三角变换、余弦定理、面积公式B10正弦定理、三角函数的值域B11三角变换、恒等变形、分类讨论、余弦定理B12向量加、减法、正弦定理、三角函数的值域B13三角形面积、三角恒等变换、三角形内角和、正弦定理C14三角形面积、三角形三边关系、余弦定理、三角变形、函数最值、数形结合思想、曲线的方程C15三角形面积、同角三角函数之间的关系、正弦定理、余弦定理B16三角恒等变形、正弦定理、三角形的面积B17余弦定理、实际问题B18向量的数量积、余弦定理、正弦定理、三角恒等变形B19正弦定理、余弦定理、三角函数值求角、锐角三角形的条件、三角恒等变形、三角函数的值域B20向量的数量积、正弦定理、余弦定理、基本不等式B1答案：等腰。解析一：由正弦定理得，故，从而。解析二：由余弦定理得：，故。2 答案：。解析：在中，由正弦定理得，故，在中，故。3答案：。解析：由得，即，故，又，从而。4答案：。解析：，故，又，所以。答案：。解析：由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。答案：1。解析：由及得：，由正弦定理知，得。由于，所以，从而，所以。. 答案：。解析：由得，又由锐角三角形得，从而，故。8答案：或。解析：由得，即，又，故或。9.答案：4。解析：由得：，从而有，也即：，化简得，又由知，即，由此得。10答案：。解析: 设由正弦定理得由锐角得，又，故，。11答案：。解析：由得，即，所以或。当时，此时，即；当时，有，此时，故。综上所述。12答案：。解析：如图所示，设，则，从而，由正弦定理得：，从而，由于，所以。13答案：。解析：由得，即，又=，由正弦定理，得：上式。14答案：。解析一：设，则，由面积公式得，在中，代入上式得：由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值。解析二：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，则由得，即：，故，所以，。二、解答题：15解析：（1）由，可得，。（2）由锐角ABC中，可得由余弦定理可得：，有：由正弦定理：， 即16解析：（1）A、B、C为ABC的内角，且，.（2）由（1）知，又，在ABC中，由正弦定理，得。ABC的面积。17解析：如图，记小船在点处被风刮跑，救生员在岸上经20分钟跑到A点后下水，再经时间小时在B处追上小船。则，由得，由余弦定理得：，解之得：或，所以救生员能追上小船，且还需1小时或小时追上小船。18解析：（1）由，得因为，所以由余弦定理，得，则，故（2）由，得由及正弦定理得，于是。19. 解析：（1）由已知，根据正弦定理得，由余弦定理得，所以，故。（2）由题可知，得， 所以，又，所以的取值范围是。20解析：（1）因为，所以，即，则 所以，即，所以 （2）因为，所以，即 所以=，即的最小值为 专题学业质量评价表知识点覆盖正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的和差倍角公式、三角变换、平面向量的加减法、数量积、平行垂直等知识点。重难点突出了正弦定理、余弦定理、面积公式在解题中的作用，同时，注重了应用意识的考查，以及数学内容的知识的综合考查，这些在三份试卷中有了充分的体现。区分度一方面注重了公式的多种形式的应用，常规问题的考查，基本方法的归类考查，另一方面注重方法，有一定的综合性和技巧，同时，也有一定的能力题，它们综合考查到了正弦定理、余弦定理、面积公式、二次函数最值、三条线段构成三角形的条件、坐标法等知识的综合应用，体现选拔性，激发了学生的求知欲。思想方法方程的思想、函数的思想、分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想等。改编题、创新题、原创题包含了大量的改编题、创新题、原创题，如诊断性测试题中的20题为课本改编题，形成性测试题中的第19题为原创题，第20题为课本及高考改编题，终结性测试题中的第13题为原创题，第14题、17题为创新题等等。难度估计0.7资料包应用价值分析1、对于强化学生的“三基”有很大的作用。本资料包非常注重对学生“三基”方面的训练，综合概