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二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义EX:10若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A且 B C且 D且 2. 二次根式的性质：Ex：1化简：_；_2当_时， 3等式成立的条件是_ 4当，化简_5比较与的大小：_6分母有理化：（1）_；（2）_；（3）_9如果，那么的值为_10若有意义，则的取值范围是_选择题： 1下式中不是二次根式的为（ ） A； B； C； D9的值为（ ） A B C D 3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减 （1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式EX:7已知，那么_8计算_ （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便二次根式运算结果应尽可能化简另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数例如不能写成EX: 2计算得（ ） A； B C D173若，则化简等于（ ） A B C D1 4化简的结果是（ ） A B C D5计算的结果是（ ） A B C D 6化简的结果是（ ） A2 B C D以上答案都不对（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与；与； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外即：（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论即：EX: 7把式子中根号外的移到根号内，得（ ） A B C D 8等式成立的条件是（ ） A B C D6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小强化训练【时间60分钟 满分100分】计算与化简：（每小题2分，共 16分）（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10）求值题：（每小题4分，共 16分）1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是实数，且，求的值五、解答题：（每小题4分，共 16分）1解方程：2在ABC中，三边分别为，且满足，试探求ABC的形状3有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？答案与提示：一、填空题：1 8； 2； 3，； 4； 5；6（1） （2） （3） 7； 8； 94； 10；二、选择题：1B； 2B； 3C； 4A； 5A； 6C； 7C； 8A； 9B； 10C；三、计算与化简：（1）96 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可解：原式四、求值题：1由于，所以；2解：， 原式3提示：由，得：，即：，所以，；再化简，即：4提示：由于 ，而，所以5提示：由，可知的取值范围：，则；则五、解答题：1原方程可化为：， 2，又，； ，ABC是等边三角形3设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，得：，所以答：加工后的房梁的最大截面积是回家作业：一、填空题（每小题2分，共20分）1在、中是二次根式的个数有_个2. 当= 时，二次根式取最小值，其最小值为 。3. 化简的结果是_4. 计算：=5. 实数在数轴上的位置如图所示：化简：6. 已知三角形底边的边长是cm,面积是cm2,则此边的高线长 7.若则 8. 计算：= 9. 已知，则 = 10. 观察下列各式：，请你将猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来是二、选择题（每小题3分，共24分）11. 下列式子一定是二次根式的是（ ）A B C D12. 下列二次根式中，的取值范围是的是（ ）A B C D13. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，式子中正确的有（ ）1个 2个3个4个14. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列各式中，一定能成立的是（ ）A B C D16设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）17. 把根号外的因式移到根号内，得（ ）A B C D18. 若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或三、解答题（76分）19. (12分)计算：(1) (2) (3) (4)20. （8分）先化简，再求值：，其中21. （8分）已知：，求：的值。22. （8分）如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺面成求一块方砖的边长23. （8分）如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 24. （10分）阅读下面问题：；;，。试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值。（3）根据你发现的规律，请计算：25. （10分）已知甲、乙两个同学在的条件下分别计算了和的值甲说的值比大，乙说的值比大请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由26.（12分）如图：面积为48的正方形四个角是面积为3的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少？（