直线和平面的投影.doc

第四章 点、直线和平面的投影教学目的要求:1. 点的投影及作图。 2. 各种位置直线的投影,及两直线的相对位置。3. 直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理。4. 各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图。教学重点难点: 1. 各种位置直线的投影。2. 各种位置平面的投影。3. 平面上取点取线的作图。4. 直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理。学 时:8 1 点的投影1 .1 点的三面投影 一、点在两投影面体系中的投影1两投影面体系的建立如右图为空间两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正投影面，以V表示，简称V面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，以H表示，简称H面。V和H所组成的体系称为两面投影体系。V和H的交线称为OX投影轴，简称X轴。2点在两投影面体系中的投影空间有一确定的点A，从点A向H面作垂线，其垂足以a表示，就是A点在H面上的投影，a称为A点的水平投影。再由A点向V面作垂线，其垂足以a表示，就A点在V面上的投影，a称为A点的正面投影。摊平：设V面不动，将H面绕0X轴向下旋转90使与V面重合，即处于同一平面位置上，得到点的两面投影图。因为投影面根据需要可以扩大或缩小，所以通常可以省明不画出投影面的边界线。讨论：有了点A的水平投影a和正面投影a，就可以确定出该点的空间位置A。注意：由点的主体图转换成平面的投影图，再由点的投影图转换成点的立体图的具体作图方法。3点在两面投影体系中的投影规律由上图可知，AaH，AaV，AaxAa所确定的矩形平面Aaax aox，aaxox，aaxox，H面旋转后aaxox不变，所以a和a的连线一定垂直于ox轴。其投影规律如下：（1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于ox轴。即aaxox轴；（2）点的水平投影到ox轴的距离等于空间点到V面的距离。点的正面投影到ox轴的距离等于空间点到H面的距离。即aax=Aa，aax=Aa。二、点在三面投影体系中的投影1三面投影体系的建立在V、H两面的基础上再增加一个右侧立面，使之与V、H相互垂直，此面以W表示，称W面。这样V、H、W互相垂直，组成一个三投影面体系。V、H面的交线称X轴；V、W面的交线称Z轴；H、W面的交线称Y轴。X、Y、Z三轴的交点O称为投影原点。2点在三面投影体系中的投影设有一空间点A、分别向H、V、W进行投影的a，a，a。a称为A点的侧面投影。摊平时，设V面不动，H向下转90，W面向右后转90，Y轴随H的以YH表示，随W的以YW表示。省略投影面边界。3点的投影与直角坐标的关系把三面投影体系看作为空间直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，X、Y、Z轴为坐标轴，原点O为坐标原点。如上图，空间点A的三个直角坐标XA、YA、ZA即为A点到三个坐标面的距离，它们与A点的投影a,a,a的关系如下：Aa=aay=axo=aaz=XA;Aa=aax=aYo=aaz=YA;Aa=aaX=aZo=aaY=ZA。由此可见，a由A点的XA、YA确定；a由A点的XA、ZA确定；a由A点的YA、ZA确定。A（XA、YA、zA） A（a，a，a）4点在V、H、W中的投影规律（1）点的正面投影和水平投影均反映空间点的X坐标，所以点的正面投影和水平投影的连线垂直X轴，即aaX轴；（2）点的正面投影和侧面投影均反映空间点的Z坐标，所以点的正面投影和侧面投影的连线垂直Z轴，即aaZ轴；（3）点的水平投影和侧面投影均反映空间点的Y坐标，所以点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即aaX=aaZ。 12 两点的相对位置和重影点 一、两点的相对位置 根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。 XAYB B点在A点后方ZAZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。比较：1. B、C与A同高，S点在其上方。 2A在S左方，C在S右方，B与S点X坐标相同。 3A、C在S后方，B点在S点前方。 二、重影点理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，这两点就称为对该投影面的重影点。A、 B是对H面的重影点；C、 D是对V面的重影点。可见性的判断：距投影面远的一点可见三、各种位置点的投影1. 四个分角中的点A第一分角，aa在X轴两侧。B第二分角， bb在X轴同侧。C第三分角，cc在X轴两侧。D第四分角，dd在X轴同侧。我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。1.3.2 特殊位置的点当空间点的Y、Z坐标有一个为零（点在投影面上），或者Y、Z坐标均为零（点在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）A在H面上。 B在V面上。C在OX轴上。2 直线的投影一、 线的投影特性1.一般位置直线： 三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。 特性： 1.各面投影的长度均小于实长。2各面投影均不平行于投影轴。2.投影面平行线：平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。特性： 1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例ab=AB。2在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例abox, a”b”oy 3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的夹角。例ab反映、角的大小。特殊情况：直线在投影面上。特征：有两个投影在相应的投影轴上。 3.投影面垂直线： 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面，。 三种：铅垂线垂直于H面 正垂面垂直于V面 侧垂面垂直于W面特性: 1.在其所垂直的投影面上,投影为一点,有积聚性,例ab积聚为一点.2.另两个投影垂直于相应的投影轴,且反映实长。例：abox a”b”oy ab=a”b”=AB实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。二、求线段的实长和倾角方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角）原理：由轴测图中可知，当ACab时， 则ABC为直角， AB为实长，且AC=ab, BC=Bb-Aa=Z 则可在投影图上作出。直角三角形各元素意义：斜边：线段实长直角边：一直角边为投影长另一边为到该投影面的坐标差。 斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。结论：1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作出直角，从而求得另二个元素。2.直角可用任一投影及坐标差作出，但其必须保持对应关系。三、直线上的点1. 直线上的点点和直线的从属性是平行投影的不变性,即: 若点在直线上,则点的各个投影必在直线的同面投影上,反之亦成立。据此可：1，求直线上点的其余投影。 2，判断点是否在直线上，一般线看两投影即可， 平行线应看直线所平行的那个投影面上的投影。2. 点分线段成定比一条直线上任意三个点的简单比，是平行投影的不变量，即一直线上的两线段之比，等于其同面投影之比。据此可：1在直线上求指定点，如在直线AB上取C使A C:CB= 1:2 2判断点是否在直线上。 3.直线的迹点直线与投影面的交点称为直线的迹点。 M_ 水平迹点 N 正面迹点 S 侧面迹点 特性：1 迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。2 迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。 因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根据直线上的点的投影规律作出。四、两直线的相对位置 三种: 平行、相交、相错 1.两直线平行理论: 若空间两直线互相平行,则它们的各面投影也一定互相平行,反之亦然。应用：1作一直线与已知直线平行。2判断已知两直线是否平行： 一般线：看两面投影 平行线：a 看平行线在所平行的那个投影面上的投影是否平行。 b看两直线投影的走向是否一致，投影比是否相等。2. 相交两直线理论：若空间两直线相交，则它们的各面投影也一定相交，且交点一定符合一个点的投影规律，反之亦然。应用：1作线线相交。2判断线线是否相交。3.相错两直线若两直线既不平行，又不相交，则它们是相错直线。投影：1可一面或两面投影平行，但不可能三面投影都平行。2一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。五、 直角的投影理论：1.若直角的一边平行于某个投影面（另一边不垂直于该投影面），则此直角在该投影面上的投影仍为直角，称为直角投影定理。其逆定理亦成立。 2.若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。 3.若两直角边均不平行于投影面时，其投影一定不是直角。下列直线互相垂直：下列直线互相不垂直： 应用：1判断两直线是否垂直。 2求点至平行线间的距离。 3 平面的投影一、平面的表示法1. 用几何元素表示平面五种方法：1。不在同一直线上的三个点。 2一直线和直线外一点。 3两相交直线。 4两平行直线。 5任意平面图形。在投影图上，可用上述任一组几何元素的投影来表示平面。2. 用平面的迹线表示平面 迹线：平面与投影平面的交线。 包括：水平迹线， 如PH。正面迹线，如PV。 侧面迹线，如PW。3. 平面迹线求法方法：求出平面上任意两直线的同面迹点，连成直线即可。因为平面上一切直线的迹点必在该平面的同面迹线上。二、 各种位置平面1.一般位置平面定义：平面与三个投影面既不平行也不垂直，而是倾斜。特性：三个投影均不是实形，而具有相仿性。2. 投影面垂直面定义: 只垂直于一个投影面的平面。 分为：铅垂面、正垂面、侧垂面。特性：1，在其所垂直的投影面上投影有积聚性，为斜直线；直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角。（如铅垂面的、角） 2，另外两个投影不是实形，但有相仿性。3. 投影面平行面定义: 垂直于两个投影面，平行于第三个投影面。 分为：水平面、正平面、侧平面。特性：1，在其所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。 2，另两个投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴。 用迹线表示特殊位置面： 铅垂面 正垂面 水平面 正平面 例：分析三棱锥上各个表面的位置。 三、平面上的点和直线1.几何条件：点在平面上: 如果点在属于平面的一条直线上,则此点必在平面上,反之成立.直线在平面上: 通过平面内的两个点,或过平面内的一个点且与平面内的一已知线平行,反之成立.2. 平面上取点取线的作图例1：求三棱锥SAB棱面上点K的H投影解一: 连接sk交 ab于 m,K点在SM上,则K在SAB面上.解二: 过k作直线KMSA,则SM在平面SAB上,点K在SM上.例2: 已知平面ABCD的H投影,试完成其V面投影。 四、平面上的特殊位置直线1. 平面上的投影面平行线 特征:1. 投影面平行线既有平面上直线的投影特性,又有投影面平行线的投影特性