§5 数学模型：定积分的应用.doc

5 数学模型：定积分的应用 定积分的概念来源于几何学上求曲边梯形的面积和物理学中的实际问题，因而有着广泛的应用。由于定积分定义为积分和的极限，因此当所研究的量可以归结为求类似积分和的和式的极限时，就可用定积分来求解。其思想方法为：“分割，代替，求和，取极限。”定积分的思想常应用在建立求总量的数学模型中，它在几何、物理、经济、社会学等几乎每一门学科中都有着广泛的用途，成为定量研究各种自然规律与社会现象的必不可少的工具。各种在整体范围内为变化的或弯曲的几何或物理对象，在经过分割后的局部范围内可以近似的认为是不变的或直的，然后用定积分（求和）的思想建立定积分模型。为了今后讨论方便，需要寻找建立这一类模型的共同的简单方法，从而在建立积分模型时，不必重复定积分概念引入时的分析和推导过程。5.1 定积分的微元法 1 定积分概念的实质分析 引例(积水问题) 设水流到水箱的速度为升分钟，问从到这段时间水流入水箱的总量是多少？利用定积分的思想，这个问题要用以下几个步骤来解决。 Step(1) 分割：用任意一组分点把区间分成长度为的个小时间段； Step(2) 代替：设第个小时间段里流入水箱的水量是 ，在每个小时间段上，水的流速可视为常量，得的近似值（）； Step(3) 求和：得的近似值； Step(4) 取极限：得的精确值。上述四个步骤 “分割代替求和取极限” 可概括为两个步骤。 第一个步骤：包括分割和求近似其主要过程是将时间间隔细分成很多小的时间段，在每个小的时间段内，“以常代变”，将水的流速近似看作是匀速的，设为，得到在这个小的时间段内流入水箱的水量。在实际应用时，为了简便起见，省略下标，用表示任意小的时间段上流入水箱的水量，这样，其中，是流入水箱水量的微元（或元素）。 第二个步骤：包括“求和”和“取极限”两步，即将所有小时间段上的水量全部加起来，。 取极限，当最大的小时间段趋于零时，得到总流水量：区间上的定积分，即。 2 微元法的步骤一般地，如果某一个实际问题中所求量符合下列条件：(1) 与变量的变化区间有关；(2) 对于区间具有可加性也就是说，如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和；(3) 部分量的近似值可以表示为；那么，在确定了积分变量以及其取值范围后，就可以用以下两步来求解：Step(1) 写出在小区间上的微元，常运用“以常代变，以直代曲”等方法；Step(2) 以所求量的微元为被积表达式，写出在区间上的定积分，得 。上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法。这一过程充分体现了积分是将微分“加”起来的实质。下面，我们将应用微元法求解各类实际问题。5.2 定积分的几何应用 积分的计算产生于几何学问题：求平面图形的面积。后来，定积分广泛地应用在几何学中。德国天文学家、数学家开普勒1615年发表的测量酒桶体积的新科学中，应用无限小微元的思想计算出了大量复杂图形的面积和旋转体的体积。中国的刘徽在求圆面积时用的“割元素”用圆的内接正多边形求圆面积，其作法也可以用微元法处理。本节将用微元法讨论一般平面图形的面积的计算。 1 平面图形的面积我们讲过，若且，则定积分表示由连线曲线，以及直线 (a b) 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。当时，定积分表示的是负面积，即表示的是在上的正负面积代数和。例如。若计算在0，上的面积，则变为 。(1) 直角坐标形式下的面积公式 下面考察两种情形下图形的面积。 Case(1) 求由曲线、与直线、围成的图形的面积。图5-1如图5-1。对任一有.Step(1) 任意的一个小区间（其中）上的窄条面积可以用底宽为，高度为的窄条矩形的面积来近似计算，因此面积微元为Step(2) 以为被积表达式，在区间上积分，得该平面图形的面积为 （上-下） (5.1)这是以为积分变量的面积公式。 Case(2) 求由曲线，以及直线，围成的图形的面积如图5-2，对任一有。Step(1) 任意的一个小区间（其中、）上的水平窄条面积可以用宽度为，高度为图5-2的水平矩形窄条的面积来近似计算，即平面图形的面积元素为 Step(2) 以为被积表达式，在区间上积分，得该平面图形的面积为 （右左） (5.2)这是以为积分变量的面积公式。在求解实际问题的过程中，首先应准确地画出所求面积的平面图形，弄清曲线的位置以及积分区间，找出面积微元，然后将微元在相应积分区间上积分。例5.1 计算曲线与直线围成的平面图形面积。解 ， ， =。 例5.2 求曲线，和直线所围成的图形的面积。 解所求面积的图形如图5-3所示取横坐标为积分变量，变化区间为。所求面积为图5-3 。例5.3 求抛物线，直线与轴所围成的图形的面积。解所求面积的图形如图5-4所示要确定图形的所在范围，需求出直线和抛物线的交点，解下列方程组 得交点为故图形在和之间。图5-4再解方程组 得交点为。由此知图形在和之间。法一 取横坐标为积分变量，的变化区间为。由图5-5可以看出，在区间、上的曲线的表达式不同，因此面积有两个表达式。在区间上，；在区间上，。图5-5于是，所求面积为法二 取纵坐标为积分变量，的变化区间为。面积为。 (2) 参数方程形式下的面积公式一般的，若所给的曲线方程为参数形式： （），其中是连续函数，是连续可微函数，且且，那么由，轴及直线 (a b)所围图形的面积S的公式为 ，（）。 (5.3)例5.4求椭圆所围成的图形的面积。解所求面积的图形如图5-6所示。由于椭圆关于两坐标轴对称，所以椭圆所围成的图形的面积为图5-6其中是椭圆在第一象限部分的面积，因此利用椭圆的参数方程 当由时，由，所以 。当时，得到圆的面积公式。例5.5(窗户面积) 某户人家的窗户顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图5-7，求此弓形的面积。解 如图5-7建立直角坐标系。设此抛物线方程为，因它过点（0.8，-0.64），所以，所以抛物线方程为，此图形的面积为以1.6为长，0.64为宽的矩形面积减去由抛物线、轴以及、所围成的图形的面积。 图5-7 (米)故窗户的面积为0.683平方米。 (3) 极坐标下的面积公式 如果曲线是极坐标方程,其中在上连续。求曲线及二射线围成的扇形面积S，如图5-8。应用微元法，在中任取一个，在角，向径。角的微分是。由扇行面积公式，在角，向径，夹角是的扇行面积微元是 =，于是 =。 (5.4)设曲线的极坐标方程是：，则由曲线，射线及所围的扇形面积S等于。 例5.6 求双纽线所围图形面积S。 分析 见图5-8，在中，于是图5-8 解 面积S。 例5.7 求位于内部、外部的面积解 由、得到，。当时, , 面积S。图5-9例5.8 求 及围成的公共部分的面积。 分析 见图5-9，； ,积分区间为， 解 S+=。2 曲线的弧长 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。设函数在区间上有一阶连续导数，即曲线有连续转动的不垂直于x轴的切线，则称此曲线在上为光滑曲线段，如何求此光滑曲线段的弧长呢？(1) 直角坐标系下弧长的计算公式取横坐标为积分变量(图5-10)，其变化区间为分割区间，相应于上图5-10的任一小区间的一小段弧的长度，可以用该曲线在点处的切线上相应的一小段的长度来近似代替(如果在放大镜下观察，你会发现，当很小时，小弧段与直线段非常接近) 。所以弧长微元(即弧微分) 所求弧长为 。 (5.5)例5.9 计算曲线在区间上的弧长(图5-11) 。解因为 所以弧长微元 图5-11所求弧长为 (2) 参数方程下弧长的计算公式设曲线的方程为，则弧长微元为 所求弧长为 。 (5.6)例5.10 计算星形线（图5-12）的全长。解弧长微元为 图5-12所求弧长为 。例5.11 已知一物体的运动规律为，。求它从时刻到时刻所移动的距离。解物体的运动规律由参数方程给出，随着时间的变化，物体运动的轨迹是一条曲线事实上是求该曲线从到的一段弧长。由参数方程的弧长公式，得 。 (3) 极坐标下弧长的计算公式 若曲线极坐标方程，则当在上可微，且可积时， 。 (5.7)例5.12 求对数螺线上到的一段弧长解 ，弧长=。(4) 空间曲线弧长的计算公式设空间曲线的方程为 （），弧长为 。 (5.8) 其中，在上可微，导数，在上可积且曲线在 上无自交点。3 旋转体的体积和侧面积(1) 平行截面面积已知的立体的体积设一物体位于平面与()之间(图5-13)，任意一个垂直于轴的平面截此物体所得的截面面积为，它是上的连续函数，该物体介于区间之间的薄片的体积微元，可用底面积是，高度为的柱形薄片的体积近似代替，从而体积微元为 图5-13将其在区间上积分，得到该立体的体积公式 。 (5.9)例5.13 设有一底圆半径为的圆柱，被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积。解取这个平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心、且垂直于图5-14轴的直线为轴。如图5-14所示，则底圆的方程为 立体在处的截面是一个直角三角形，截面积为 于是所求立体体积为。图5-15(2) 旋转体的体积旋转体体积是一种特殊的立体体积，它是由一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体。这条直线叫旋转轴球体、圆柱体、圆台、圆锥、椭球体等都是旋转体。 Case(1) 绕x轴旋转所成的立体的体积由连续曲线与直线、以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体(图5-15)，用任意一个垂直于轴的平面所截，得到的截面面积，故所求旋转体的体积为 。 (5.10)Case(2) 绕轴旋转所成的立体的体积同理可得，另一种由连续曲线与直线、以及轴所围成的曲边图5-16梯形，绕轴旋转一周而成的旋转体体积(图5-16)为 。 (5.11)例5.14 求由曲线与直线以及轴所围成的图形分别绕轴、轴旋转所成立体的体积。解绕轴旋转所成立体的体积如图5-17所示所求立体的体积为图5-17 绕轴旋转所成的立体的体积如图5-18所示所求立体的体积为 图5-18 。例5.15 设平面图形由与所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。解如图5-19所示取横坐标为积分变量，它的变化区间为相应于上的任一小区间上的薄片体积近似于底半径为、高为的扁圆柱体的体积与半径为、高为的扁圆柱体的体积之差，所以体积元素为 图5-19故所求体积为。例5.16 (机器底座的体积) 某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一象限的图形由 ，以及轴，轴围成，底座为以此图形绕轴旋转一周所构成，试求此底座的体积(图5-20) 。解 此体积实际为由曲线与直线、以及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成的立体体积。图5-20=。 (3) 旋转体的侧面积设于上非负，且连续可微，将该曲线绕轴旋转后，得到旋转体，求此旋转体的侧面积(如图)： 首先求旋转体的侧面积的微元。在上任取一点，旋转半径是，在曲线上点的弧长微元是，则在点旋转体的侧面积的微元是 。于是 。已知弧长微元，则 。 (5.12)例5.17 求半径为的球面面积S。 解 半径为的球的面积等于半圆绕轴旋转体的侧(表)面积。已知 ,则 =。例5.18 求圆绕轴旋转所得旋转体的(表)面积. 解 如图。上半圆与下半圆的方程分别是 与 。 。 显然,旋转体的面积是上,下半圆绕轴旋转的侧面积之和，即 =+ = =。5.3 定积分的物理应用说到定积分的物理应用，不能不提到I. Newton，他既是一位伟大的数学家，又是一位伟大的物理学家1665年，他撰写的流数简论以速度形式引入了导数（“流数”）概念，并将他建立的统一算法应用于求解几何问题、引力和引力中心，反映了微积分学的运动背景1687年，他所著的力学名著自然哲学的数学原理（Philosophiae naturalis principia mathematica）从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮夕、慧星乃至宇宙体系，充分显示了微积分这一数学新工具的威力 和定积分的几何应用一样，在定积分的物理应用中，关键是用微元法列出所求量的微元这里，除必须仔细分析所讨论问题的特点外，还以相应的物理定律为依据 1 质心（重心）重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。(1) 轴上的质点质心从最简单的两个质点的系统说起。设质点，的质量分别为，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点，则点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在x轴上，设，和点坐标依次为，在点所用支起的力应等于作用在，处的重力，的和。因此它们为原点的力矩之和应为0，即 0，所以 。如果不是两个质点，而是有限多个，质量分别为，横坐标分别为，则重心 。 (5.12) (2) 平面上的质心 如果质点不是放在轴上，而是在平面上，由力学知道，在平面上的个质点，设它们的质量分别为且分别位于点处，则此质点系对轴的静力矩，对轴的静力矩分别为 ， 若有一个质点，其质量等于上述质点系各质点质量之和，把这个质点放在平面上的点处时，它对、轴的静力矩分别为、则称点为质点系的质心根据这个定义，质心坐标应满足 ，令 图5-26则 ， (5.13)设有一均匀薄片，由曲线，及直线，所围成，且如图5-26所示薄片的面密度为常数，求其质心取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一个小区间，相应于该区间的窄长条的薄片可以近似的看作是一个小的矩形，则这条薄片的质量为由于很小，这个小的窄长条的质量可以近似的看作分布在过处的直线段上，由静力矩的概念，该直线段上均匀分布的质量可看作集中于该线段的中心处所以这窄长条对轴的静力矩微元 对轴的静力矩微元在上作定积分，得静力矩 ， 所以该薄片的质心坐标为 ， (5.14)(3) 平面曲线（弧）的质心下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的质心：设曲线方程为（），存在且（设质点为均匀分布，即密度为常数，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。曲线的重心坐标（）有近似公式： ，记，则时，。具体地，如果曲线方程段为，（），在a,b连续，则此曲线段的质心坐标为，其中为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是x的连续函数，（）那么完全类似地可得曲线段质心坐标为： ， (5.15)其中，为曲线段的质量。例5.19 求密度均匀的直角三角形薄片的质心解取坐标系如图5-27所示，直线的方程是 故质心坐标为 ， 图5-27 2 变力作功问题(1) 沿直线作功由物理学知道，物体受常力作用沿力的方向移动一段距离，此时，力对物体所作的功为如果物体在运动过程中所受的力是变化的，设做直线运动的物体所受的力与移动的距离之间满足，求此力将物体从移动到所做的功变力在一小段上所做的功可视为常力所做的功，功的微元为 ，所以，总功为例5.20 半径为的球沉入水中，其最高点与水面相接，球的密度为，现将球从水中取出，问要作多少功？解如图5-28所示建立直角坐标系，图中圆的方程为图5-28 取为积分变量，它的变化区间为在 上任取一个小区间 ，在上小薄片可以近似的看成是一个小的圆柱体当球恰好离开水面时，球中位于的小薄片的总的行程为，其中在水中移动的行程为，其余行程为因此，所作的功分为两部分一部分为在水中移动时作的功，这时，薄片所受的作用力为重力减去浮力，即 故此时所作的功为零另一部分为离开水面后克服重力所作的功这时薄片所受的作用力为功的微元为由微元法知，所作的功为 (2) 变路径作功 当力是常值，且物体的位移与方向一致时，这个力所做的功为当为常值，位移与方向夹角时。对于变力；或变路径问题，可将整个运动位移分解成若干小的位移元，由于足够的小，可以认为力在上作的元功为，它们的和就是力在整个路径上的定积分。例5.21 在半径为的半球形容器内，盛满密度为的液体。为了将液体全部吸出，求外力所做的功。 解 这是一个变力、变路径作功的问题，建立坐标系以向下为轴的正方向。当时，在内对应的液体体积元,将这一部分液体吸出，需要做的功。 （为重力加速度）。 3 水的压力由物理学知道，在水深为处的压强为，这里是水的比重如果有一面积为的平板水平地放置在水深为处，那么，平板一侧所受的水压力为如果平板铅直放置在水中，由于水深不同压强不同，此时平板一侧所受的水压力应如何计算呢？例5.22 设半径为的圆形水闸门与水面垂直置于水中，水面与闸顶齐，求闸门图5-24所受的总压力？(图5-24)解取坐标系如图5-24所示，取为积分变量，它的变化区间为。在区间上任取一小区间，相应的小横条可用矩形近似代替，其上的压力微元为其中是水的比重（）。于是闸门所受的总压力为半圆的面积 。4 引力由物理学知道，质量分别为、，相距为的两质点间的引力为其中为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向。由于细棒上各点与质点的距离是变化的，如何计算位于一条直线上的一根细棒对质点的引力呢？例5.23 (点棒引力1) 设有一长度为，质量为的均匀细直棒，另有一质量为的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为。试计算该棒对质点的引力。解取坐标系如图5-25所示，使棒位于轴上，取为积分变量，它的变化区间为。设为上的任一小区间把细直棒上相应于的一段近似地看成质点，其质量为。于是引力微元为图5-25 该棒对质点的引力为 。 如要细棒上各点对该物质的引力方向也是变化的，就不能用上列公式来计算。下面举例说明它的计算方法：例5.24 (点棒引力2) 设有一长为的均匀细棒，线密度为，求细棒对位于其一端垂直方向距离为、质量为的质点的引力。 解 建立坐标系如图5-26，以为积分变量，变化区间为，。细棒相应于的质量为，近似看作集中在点处，则引力元素为 ，则引力元素在两轴上的分量依次是 ， ， 所以 ， ，其中 。 所求引力为。 5.4 由变化率求总改变量我们已经看到：速度函数的定积分为走过的总路程，即若速度为，位移为，则，并且有将这一结果一般化，可得出：任一量的变化率的定积分为这一量的总变化量。假设是某一量相对于自变量的变化率，则在上，用微分与导数的关系有由微元法可以得到从到之间的总变化为例5.25 (石油消耗) 近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.071970年初，消耗率大约为161亿桶设表示从1970年起第年的石油消耗率，则（亿桶）试用此式建立从1970年到1990年间石油消耗的总量表达式。解设表示从1970年起（）到第年的石油消耗总量从1970年到1990年间石油消耗的总量为。由于是石油消耗的总量，所以就是石油消耗率，即，于是 于是，从1970年到1990年间石油消耗的总量约为7027（亿桶）。例5.26 (商品贮费) 一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用5个月时间。如果贮存费用是每月每公斤0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？ 解 令表示个月后贮存大米的公斤数，则将区间分为个等距的小区间，并且令表示第个小区间的左端点。在第个小区间中，每公斤贮存费用等于每月每公斤贮存费用与月数之积，于是 每公斤贮存费用而个月后贮存的公斤数为，因此 第个小区间的贮存费所以， 总贮存费当无限增加时，由定积分定义知：总贮存费= = =250（元）。例5.27 (币流价值) 将元现金存入银行，年利率按计算，若以连续计息方式结算，年后的存款额为 因此，元现金年之后的价值是，称为元现金年之后的期末价值。反过来，现在的元现金相当于年之前把元现金存人银行所得，故现在的元现金年前的价值是，称是年前的贴现价值。 在银行业务中有一种“均匀流”存款方式使货币象流水一样以定常流量源源不断地流进银行，比如商店每天把固定数量是营业额存入银行，就类似于这种方式。设从时开始以均匀流方式向银行存款，年流量为元，年利率为（连续计息结算），试问年后在银行有多少存款（期末利息）？这些存款相当于初始时的多少元现金（贴现价值）？解 根据连续计息结算方式可知，向银行存入元，年之后的存款额为。现对均匀货币流采取微元法计算：在内向银行存入元，年后这些存款的存期是，相应的存款额变为 因此，年后均匀货币流的总存款额为 (5.16) (1) 这就是均匀货币流的期末价值。这元现金相当于初始时的元，故 (2) 这就是均匀货币流的贴现价值。例5.28 (人口统计模型1) 某城市1990年的人口密度近似为 ，表示距市中心公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。(1) 试求距市中心2km区域内的人口数；(2) 若人口密度近似为（单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数。 解 假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成个小区间，每个小区间的长度为，每个小区间确定了一个环，如图5-29所示。图5-29让我们估算每个环中的人口数并把它们相加，就得到了总人口数。第个环的面积为： 当很大时，很小，相对来说很小，可忽略不计，所以此环的面积近似为。在第个环内，人口密度可看成常数所以此环内的人口数近似为： 。距市中心2km区域内的人口数为： (1) 当时， 距市中心2km区域内的人口数大约为229100。(2) 当时， 距市中心2km区域内的人口数大约为1160200。 讨论 本题中选取的两个人口密度，有一个共同的性质，即随着的增大，减少，这是符合实际的，因为随着距市中心的距离越远，人口密度越小。另外，需要指出的是，当人口密度选取不同的模式时，估算出的人口数可能相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确估算人口数至关重要。例5.29 (人口统计模型2) 设表示时刻某城市的人口数，假设人口变化动力学受下列两条规则影响。 (1) 时刻净增人口以每年的比率增加； (2) 在一段时期内，比如说从到，由于死亡或迁移，时刻的人口数的一部分在时刻仍然存在，我们用来表示，是这段时间的长度。试建立在任意时刻人口规模的模型。数学建模 我们把的时间分成等份，每个小区间的长度为，初始时刻的人口数为，到时刻将只剩下。当很小时，从时刻到，净增人口的比率近似为常数。这段时期净增的人口数近似为，时刻的人口到时刻时只剩下。所以在时刻的总人口数近似为： 当无限增大时，。下面请看一具体实例。设，1990年时该城市的人口数为。试求2000年时该城市的人口数。解 。2000年时该城市大约有人口1280万。5.5 定积分的近似计算在应用中，常常会遇到以下情形：（1）要计算，但的原函数不能用普通的初等函数表示出来，如，等，因此要计算这些积分，就只能用近似方法来求近似值。（2）实际生活中，常用的表述方式给出被积函数，因此无法给出它的原函数，只能近似地求出其积分值。（3）有时虽从理论上讲，能够求出的用初等函数表示的原函数，但计算过程复杂，反而不如用近似值有效。由于上述原因，以及计算机的日益普及，求积分的近似值已称为解决问题不可缺少的方法。下面介绍几种近似方法：a）矩形法：，ca，或b，或(a+b)/2b) 梯形法：c) 抛物线法：（Simpson方法）5.6 定积分的许多问题常要计算连续函数在区间上的平均值，如24小时的平均气温等。1 平均值设函数在闭区间上连续，将分成等份，设等分点依次为, 当足够大，每个小区间的长 就足够小，于是可用近似代替小区间上各点的函数值，. 于是，在区间的近似平均值为 。当时，的极限就是在上的平均值. 据此，以及定积分的定义，得于是在闭区间上的平均值 。 (5.17) 回想定积分中值定理，其中的就是在的平均值。例5.30 设 (1) 交流电； (2) 两个交流半周的整流电流，求其在一个周期上的平均值。解 由(1)，的周期为，于是 , 由(2)，的周期为 ，于是 。平均值是直流电的强度，它等于一个周期内流过的交流电量。2 均方根 在物理学中，除讨论电流在一个周期上的平均值外，还常考虑电流的有效期.周期性非恒定电流的有效期规定为：当在其一个周期内，在负载电阻上消耗的平均功率， 等于取固定值的直流电流在上消耗的功率时，称这个值为的有效期。由于固定值的电流在电阻上消耗的功率为，电流在上消耗的功率为，它在一个周期内的平均值为 ， 所以 ， 于是 。 (5.18) 数学上，将(5.18) 称为函数在区间上的均方根。由此可见：(1) 没有经过整流的电流的有效值为 ； (2) 整流为两个交流半周的电流的有效值为 。二者结果相同。这是因为消耗的功率相同，而与电流的方向无关。 练习6.51 求，围成的面积。2 计算围成的平面图形面积。3 求在区间上连续曲线轴及二直线与所围成的平面区域的面积。4 求曲线与两坐标轴围成的面积。 5 求半径为的圆的面积。6 由两条曲线与围成的平面区域的面积。7 求由三条曲线与围成的平面区域的面积。 8 求椭圆：的面积。9 求轴与摆线,围成的面积。10 星形线()围成的面积。 11 旋轮线: 一拱与围成区域的面积。 12 求对数螺线上对应与射线和围成的面积。 2apO r = aq13 求阿基米德螺线 上对应于从0变到2p 的一段曲线与极轴所围成图形的面积。 14 求双纽线围成区域的面积,如图。15 求心形线与圆的公共部分的面积。 16 求三叶玫瑰线围成区域的面积。17 求抛物线从到之间的弧长。 18 求曲线相应于从到一段弧的长度。19 求曲线的弧长。20 求悬链线在上的弧长。 21 求曲线的全长。22 求半径为r的圆的周长。23 求摆线的长。24 摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标。25 求星形线的全长。 26 求心脏线的全长。 27 求椭圆柱面及平面所围成立体() 的体积。 28 一平面经过半径r的圆柱体的底圆中心，并且与底圆交成角( 图5-9)，试计算这个平面截圆柱体所得立体的体积。29 两个半径为r的圆柱体, 中心轴垂直相交, 求这两个圆柱体公共部分的体积。30 求由椭圆抛物面与平面所围成的立体的体积。 31 (水池容积) 修一个水池，底面积为的矩形，上口为的矩形，深为，它的各个侧面均为等腰梯形，求它的容积。32 (球冠体积) 从半径为的球体上截取一个高为的球冠，求球冠的体积。33 求由，所围成的图形绕轴的旋转体体积。 34 求圆绕轴的旋转体体积。 35 求圆绕轴旋转而成的旋转体的体积。36 求由和所围图形分别绕轴、轴的旋转体体积。 37 一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。 38 求曲线在上绕轴旋转一周的旋转体的体积。39 摆线与轴围成的图形。 1）绕轴旋转形成的旋转体体积 2）绕轴旋转形成的旋转体体积 3）绕旋转形成的旋转体的截面面积 。绕旋转形成的旋转体体积。40 试证由平面图形绕轴旋转所成旋转体图的体积为 。41 求心形线与射线、围成的