平面向量讲义 - 学生版

精品文档 1欢迎下载 学习目标 1 能结合物理中的力 位移 速度等具体背景认识向量 掌握向量与数量的区别 2 会用有向线段作 向量的几何表示 了解有向线段与向量的联系与区别 会用字母表示向量 3 理解零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量及向量的模等概念 会辨识图形中这些相关的概念 知识点一 向量的概念 思考 1 在日常生活中有很多量 如面积 质量 速度 位移等 这些量有什么区别 思考 2 两个数量可以比较大小 那么两个向量能比较大小吗 梳理 向量与数量 1 向量 既有 又有 的量统称为向量 2 数量 只有 没有 的量称为数量 知识点二 向量的表示方法 思考 1 向量既有大小又有方向 那么如何形象 直观地表示出来 思考 2 0 的模长是多少 0 有方向吗 思考 3 单位向量的模长是多少 梳理 1 向量的表示 具有 和长度的线段叫作有向线段 以A为起点 以B为终点的有向线段记作 线段AB的长度 也叫作有向线段的长度 记作 AB 向量可以用 来表示 有向线段的长度表示 即长度 也称模 箭头所指的方向表示 向量也可以用黑体小写字母如a a b b c c 来表示 书写用 来表示 a b c 2 的向量叫作零向量 记作 的向量 叫作a a方向上 精品文档 2欢迎下载 的单位向量 记作a a0 知识点三 相等向量与共线向量 思考 1 已知A B为平面上不同两点 那么向量和向量相等吗 它们共线吗 AB BA 思考 2 向量平行 共线与平面几何中的直线 线段平行 共线相同吗 思考 3 若a a b b b b c c 那么一定有a a c c吗 梳理 1 相等向量 且 的向量叫作相等向量 2 平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 则称这两个向量平行或共线 记法 a a与b b平行或共线 记作 规定 零向量与 平行 类型一 向量的概念 例 1 下列说法正确的是 A 向量与向量的长度相等 B 两个有共同起点 且长度相等的向量 它们的终点相同 AB BA C 零向量没有方向 D 任意两个单位向量都相等 反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义 对单位向量与零向量要特别注意方向问题 跟踪训练 1 下列说法正确的有 若 a a b b 则a a b b或a a b b 向量与是共线向量 则A B C D四点必在同一条直线上 AB CD 向量与是平行向量 AB BA 类型二 共线向量与相等向量 例 2 如图所示 ABC的三边均不相等 E F D 分别是AC AB BC的中点 1 写出与共线的向量 EF 2 写出与的模大小相等的向量 EF 3 写出与相等的向量 EF 精品文档 3欢迎下载 反思与感悟 1 非零向量共线是指向量的方向相同或相反 2 共线的向量不一定相等 但相等的向量一定共线 跟踪训练 2 如图所示 O是正六边形ABCDEF的中心 1 与的模相等的向量有多少个 OA 2 是否存在与长度相等 方向相反的向量 若存在 有几个 OA 3 与共线的向量有哪些 OA 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km 到达B点 然后又改变方向 向西偏北 50 的方向走了 200 km 到达 C点 最后又改变方向 向东行驶了 100 km 到达D点 1 作出向量 AB BC CD 2 求 AD 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点 再确定向量的方向 然后根据向量的大小确定向量的终 点 跟踪训练 3 在如图的方格纸上 已知向量a a 每个小正方形的边长为 1 1 试以B为终点画一个向量b b 使b b a a 2 在图中画一个以A为起点的向量c c 使 c c 并说出向量c c的终点的轨迹是什么 5 1 下列结论正确的个数是 温度含零上和零下温度 所以温度是向量 向量的模是一个正实数 向量a a与b b不共线 则a a与b b都是非零向量 若 a a b b 则a a b b A 0 B 1 C 2 D 3 2 下列说法错误的是 精品文档 4欢迎下载 A 若a a 0 则 a a 0 B 零向量是没有方向的 C 零向量与任一向量平行 D 零向量的方向是任意的 3 如图所示 梯形ABCD为等腰梯形 则两腰上的向量与的关系是 AB DC A B C D AB DC AB DC AB DC AB DC 4 如图所示 在以 1 2 方格纸中的格点 各线段的交点 为起点和终点的向量中 1 写出与 相等的向量 AF AE 2 写出与的模相等的向量 AD 1 向量是既有大小又有方向的量 从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征 因此借助于向量 我们可 以将某些代数问题转化为几何问题 又将几何问题转化为代数问题 故向量能起到数形结合的桥梁作用 2 共线向量与平行向量是一组等价的概念 两个共线向量不一定要在一条直线上 当然 同一直线上的向量也是 平行向量 3 注意两个特殊向量 零向量和单位向量 零向量与任何向量都平行 单位向量有无穷多个 起点相同的所有 单位向量的终点在平面内形成一个单位圆 2 1 向量的加法 学习目标 1 理解并掌握向量加法的概念 了解向量加法的物理意义及其几何意义 2 掌握向量加法的三角形法 则和平行四边形法则 并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算 3 了解向量加法的交换律和结合律 并 能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 分析下列实例 精品文档 5欢迎下载 1 飞机从广州飞往上海 再从上海飞往北京 如图 这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的 2 有两条拖轮牵引一艘轮船 它们的牵引力分别是F F1 3 000 N F F2 2 000 N 牵引绳之间的夹角为 60 如图 如果只用一条 拖轮来牵引 也能产生跟原来相同的效果 思考 1 从物理学的角度来讲 上面实例中位移 牵引力说明了什么 体现了向量的什么运算 思考 2 上述实例中位移的和运算 力的和运算分别用了什么法则 梳理 1 向量加法的定义 求 的运算 叫作向量的加法 2 向量加法的法则 三角 形法 则 已知向量a a b b 在平面上任取一点A 作 a a b b 再作向量 则向量叫作 AB BC AC AC 向量a a与b b的和 记作 即 a a b b AB BC 平行 四边 形法 则 已知向量a a b b 在平面内任取一点A 作 a a b b 再作平行于的 b b 连 AB AD AD BC 接DC 则四边形ABCD为平行四边形 向量 叫作向量a a与b b的和 表示为 AC a a b b 向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义 知识点二 向量加法的运算律 思考 1 实数加法有哪些运算律 思考 2 根据图中的平行四边形ABCD 验证向量加法是否满足交换律 注 a a b b AB AD 精品文档 6欢迎下载 思考 3 根据图中的四边形ABCD 验证向量加法是否满足结合律 注 a a b b c c AB BC CD 梳理 向量加法的运算律 交换律a a b b 结合律 c c a a 类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例 1 如图 1 2 已知向量a a b b c c 求作向量a a b b和a a b b c c 1 2 反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 1 三角形法则中强调 首尾相接 平行四边形法则中强调的是 共起点 2 三角形法则适用于任意两个非零向量求和 而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 1 当两个向量不共线时 向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的 2 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 跟踪训练 1 如图所示 O为正六边形ABCDEF的中心 化简下列向量 1 2 OA OC BC FE 3 OA FE 类型二 向量加法运算律的应用 例 2 化简 1 2 BC AB DB CD BC 3 AB DF CD BC FA 精品文档 7欢迎下载 反思与感悟 1 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接 再运用向量的结合律调整向量顺序后相加 2 向量求和的多边形法则 An 1An 特別地 当An和A1重合时 A1A2 A2A3 A3A4 A1An A1A2 A2A3 An 1A1 0 A3A4 跟踪训练 2 已知正方形ABCD的边长等于 1 则 AB AD BC DC 类型三 向量加法的实际应用 例 3 在静水中船的速度为 20 m min 水流的速度为 10 m min 如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸 求船行进的方向 引申探究 1 若本例中条件不变 则经过 1 h 该船的实际航程是多少 2 若本例中其他条件不变 改为若船沿垂直水流的方向航行 求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值 反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用 准确作出图像是解题关键 跟踪训练 3 如图 用两根绳子把重 10 N 的物体W吊在水平杆子AB上 ACW 150 BCW 120 求A和B处 所受力的大小 绳子的重量忽略不计 1 如图 在正六边形ABCDEF中 等于 BA CD EF A 0 B C D BE AD CF 2 如图 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 下列等式中错误的是 A 0 B 0 FD DA DE AD BE CF C D FD DE AD AB AD EC FD BD 3 等于 AB MB BO BC OM 精品文档 8欢迎下载 A B C D BC AB AC AM 4 如图所示 在四边形ABCD中 则四边形为 AC AB AD A 矩形 B 正方形 C 平行四边形 D 菱形 5 小船以 10 km h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶 同时河水的流速为 10 km h 则小船的实际航行速度 3 的大小为 km h 1 三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法 两个法则是统一的 当两个向量首尾相连时常选用三 角形法则 当两个向量共起点时 常选用平行四边形法则 2 向量的加法满足交换律 因此在进行多个向量的加法运算时 可以按照任意的次序和任意的组合去进行 3 在使用向量加法的三角形法则时要特别注意 首尾相接 和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向 量的终点 向量相加的结果是向量 如果结果是零向量 一定要写成 0 而不应写成 0 2 2 向量的减法 学习目标 1 理解相反向量的含义 向量减法的意义及减法法则 2 掌握向量减法的几何意义 3 能熟练地进行向 量的加 减运算 知识点一 相反向量 思考 实数a的相反数为 a 向量a a与 a a的关系应叫作什么 梳理 与a a 的向量 叫作a a的相反向量 记作 1 规定 零向量的相反向量仍是 2 a a a a 3 a a a a 4 若a a与b b互为相反向量 则a a b b a a b b 知识点二 向量的减法 思考 1 根据向量的加法 如何求作a a b b 思考 2 向量减法的三角形法则是什么 梳理 1 定义 向量a a加上 叫作a a与b b的差 即a a b b 求两个向量 的运算 叫 精品文档 9欢迎下载 作向量的减法 2 几何意义 在平面内任取一点O 作 a a b b 则向量a a b b 如图所示 OA OB 3 文字叙述 如果把向量a a与b b的起点放在O点 那么由向量b b的终点B指向被减向量a a的终点A 得到的向量 就是a a b b BA 知识点三 a a b b a a b b a a b b 三者的关系 思考 在三角形中有两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 结合这一性质及向量加 减法的几何意义 a a b b a a b b a a b b 三者关系是怎样的 梳理 当向量a a b b不共线时 作 a a b b 则a a b b 如图 1 根据三角形的三边关系 则有 OA AB OB a a b b a a b b b b 作法同上 如图 3 此时 a a b b a a b b 故对于任意向量a a b b 总有 a a b b a a b b a a b b 因为 a a b b a a b b 所以 a a b b a a b b a a b b 即 a a b b a a b b a a b b 将 两式结合起来即为 a a b b a a b b a a b b 类型一 向量减法的几何作图 例 1 如图 已知向量a a b b c c不共线 求作向量a a b b c c 引申探究 若本例条件不变 则a a b b c c如何作 精品文档 10欢迎下载 反思与感悟 在求作两个向量的差向量时 当两个向量有共同始点 直接连接两个向量的终点 并指向被减向量 就得到两个向量的差向量 若两个向量的始点不重合 先通过平移使它们的始点重合 再作出差向量 跟踪训练 1 如图所示 已知向量a a b b c c d d 求作向量a a b b c c d d 类型二 向量减法法则的应用 例 2 化简下列式子 1 2 NQ PQ NM MP AB CD AC BD 反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容 两向量相减 表示两向量起点的字母必须相同 这样两向量的差向 量以减向量的终点字母为起点 以被减向量的终点字母为终点 跟踪训练 2 化简 1 BA BC ED EC 2 AC BO OA DC DO OB 类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知 6 9 求 的取值范围 AB AD AB AD 反思与感悟 1 如图所示 在平行四边形ABCD中 若 a a b b 则 a a b b a a b b AB AD AC DB 2 在公式 a a b b a a b b a a b b 中 当a a与b b方向相反且 a a b b 时 a a b b a a b b 当a a与b b方 向相同时 a a b b a a b b 3 在公式 a a b b a a b b a a b b 中 当a a与b b方向相同且 a a b b 时 a a b b a a b b 当a a与b b方 向相反时 a a b b a a b b 跟踪训练 3 在四边形ABCD中 设 a a b b 且 a a b b 若 a a b b a a b b 则四边形ABCD的形状是 AB AD AC A 梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 精品文档 11欢迎下载 1 如图所示 在 ABCD中 a a b b 则用a a b b表示 AB AD 向量和分别是 AC BD A a a b b和a a b b B a a b b和b b a a C a a b b和b b a a D b b a a和b b a a 2 化简 的结果等于 OP QP PS SP A B C D QP OQ SP SQ 3 若菱形ABCD的边长为 2 则 AB CB CD 4 若向量a a与b b满足 a a 5 b b 12 则 a a b b 的最小值为 a a b b 的最大值为 5 如图 在五边形ABCDE中 若四边形ACDE是平行四边形 且 a a b b c c 试用a a b b c c表示向量 AB AC AE BD 及 BC BE CD CE 1 向量减法的实质是向量加法的逆运算 利用相反向量的定义 就可以把减法转化为加法 即减去一个 AB BA 向量等于加上这个向量的相反向量 如a a b b a a b b 2 在用三角形法则作向量减法时 要注意 差向量连接两向量的终点 箭头指向被减向量 解题时要结合图形 准确判断 防止混淆 3 平行四边形ABCD的两邻边AB AD分别为 a a b b 则两条对角线表示的向量为 AB AD a a b b b b a a a a b b 这一结论在以后应用非常广泛 应该加强理解并掌握 AC BD DB 精品文档 12欢迎下载 3 3 1 1 数乘向量数乘向量 学习目标 1 了解向量数乘的概念 并理解这种运算的几何意义 2 理解并掌握向量数乘的运算律 会运用向量 数乘运算律进行向量运算 3 理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法 并能熟练地运用这些知识处理有关共线 向量问题 知识点一 向量数乘的定义 思考 1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量 思考 2 向量 3a a 3a a与a a从长度和方向上分析具有怎样的关系 思考 3 a a的几何意义是什么 梳理 数乘向量 一般地 实数 与向量a a的积是一个向量 记作 它的长度为 a a a a 它的方向 当 0 时 a a与 a a的方向相同 当 0 时 a a与a a的方向相反 当 0 时 a a 0 方向任意 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律 向量数乘有怎样的运算律 梳理 向量数乘运算律 1 a a a a 2 a a a a a a 3 a a b b a a b b 知识点三 向量共线定理 精品文档 13欢迎下载 思考 若b b 2a a b b与a a共线吗 梳理 1 向量共线的判定定理 a a 是一个 向量 若存在一个实数 使得 则向量b b与非零向量a a共线 2 向量共线的性质定理 若向量b b与非零向量a a共线 则存在一个实数 使得b b 知识点四 向量的线性运算 向量的加法 减法和实数与向量积的综合运算 通常称为向量的线性运算 或线性组合 类型一 向量数乘的基本运算 例 1 1 化简 2 2a a 4b b 4 5a a 2b b 1 4 2 已知向量为a a b b 未知向量为x x y y 向量a a b b x x y y满足关系式 3x x 2y y a a 4x x 3y y b b 求向量x x y y 反思与感悟 1 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取 公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用 但是这里的 同类项 公因式 是指向量 实数看作是向 量的系数 2 向量也可以通过列方程和方程组求解 同时在运算过程中多注意观察 恰当的运用运算律 简化运算 跟踪训练 1 1 a a b b 3 a a b b 8a a 2 若 2 c c b b 3y y b b 0 其中a a b b c c为已知向量 则未知向量y y y y 1 3a a 1 3 类型二 向量共线的判定及应用 命题角度 1 判定向量共线或三点共线 例 2 已知非零向量e e1 e e2不共线 1 若a a e e1 e e2 b b 3e e1 2e e2 判断向量a a b b是否共线 1 2 1 3 2 若 e e1 e e2 2e e1 8e e2 3 e e1 e e2 求证 A B D三点共线 AB BC CD 反思与感悟 1 向量共线的判断 证明 是把两向量用共同的已知向量来表示 进而互相表示 从而判断共线 2 利用向量共线定理证明三点共线 一般先任取两点构造向量 从而将问题转化为证明两向量共线 需注意的是 精品文档 14欢迎下载 在证明三点共线时 不但要利用b b a a a a 0 还要说明向量a a b b有公共点 跟踪训练 2 已知非零向量e e1 e e2不共线 如果 e e1 2e e2 5e e1 6e e2 7e e1 2e e2 则共线的三个点是 AB BC CD 命题角度 2 利用向量共线求参数值 例 3 已知非零向量e e1 e e2不共线 欲使ke e1 e e2和e e1 ke e2共线 试确定k的值 反思与感悟 利用向量共线定理 即b b与a a a a 0 共线 b b a a 既可以证明点共线或线共线问题 也可以根据共 线求参数的值 跟踪训练 3 已知A B P三点共线 O为直线外任意一点 若 x y 则x y OP OA OB 类型三 用已知向量表示其他向量 例 4 在 ABC中 若点D满足 2 则等于 BD DC AD A B 1 3AC 2 3AB 5 3AB 2 3AC C D 2 3AC 1 3AB 2 3AC 1 3AB 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路 1 先结合图形的特征 把待求向量放在三角形或平行四边形中 2 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量 3 当直接表示比较困难时 可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然 后解关于所求向量的方程 跟踪训练 4 如图 在 ABC中 D E为边AB的两个三等分点 3a a 2b b 求 CA CB CD CE 1 已知a a 5e e b b 3e e c c 4e e 则 2a a 3b b c c等于 A 5e e B 5e e C 23e e D 23e e 2 在 ABC中 M是BC的中点 则 等于 AB AC A B 1 2AM AM C 2 D AM MA 3 设e e1 1 e e2 2是两个不共线的向量 若向量m m e e1 1 ke e2 k R R 与向量n n e e2 2e e1共线 则 精品文档 15欢迎下载 A k 0 B k 1 C k 2 D k 1 2 4 已知 ABC的三个顶点A B C及平面内一点P 且 则 PA PB PC AB A P在 ABC内部 B P在 ABC外部 C P在AB边上或其延长线上 D P在AC边上 5 如图所示 已知 用 表示 AP 4 3AB OA OB OP 1 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 例如 a a a a是没有意义的 2 a a的几何意义就是把向量a a沿着a a的方向或反方向扩大或缩小为原来的 倍 向量表示与向量a a同向的单 a a a a 位向量 3 向量共线定理是证明三点共线的重要工具 即三点共线问题通常转化为向量共线问题 4 已知O A B是不共线的三点 且 m n m n R R A P B三点共线 m n 1 OP OA OB 3 3 2 2 平面向量基本定理平面向量基本定理 学习目标 1 理解平面向量基本定理的内容 了解向量的一组基底的含义 2 在平面内 当一组基底选定后 会 用这组基底来表示其他向量 3 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题 知识点 平面向量基本定理 思考 1 如果e e1 e e2是两个不共线的确定向量 那么与e e1 e e2在同一平面内的任一向量a a能否用e e1 e e2表示 依 据是什么 思考 2 如果e e1 e e2是共线向量 那么向量a a能否用e e1 e e2表示 为什么 精品文档 16欢迎下载 思考 3 若存在 1 2 R R 1 2 R R 且a a 1e e1 2e e2 a a 1e e1 2e e2 那么 1 1 2 2有何关系 梳理 1 平面向量基本定理 如果e e1 e e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的 向量a a 存在唯一一对实数 1 2 使a a 2 基底 平面内 的向量e e1 e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 类型一 对基底概念的理解 例 1 如果e e1 e e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 e e1 e e2 R R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a a 使a a e e1 e e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e e1 1e e2与 2e e1 2e e2共线 则有且只有一个实数 使得 1e e1 1e e2 2e e1 2e e2 若存在实数 使得 e e1 e e2 0 则 0 A B C D 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底 主要看两向量是否非零且不共线 此外 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 跟踪训练 1 若e e1 e e2是平面内的一组基底 则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A e e1 e e2 e e2 e e1 B 2e e1 e e2 e e1 e e2 C 2e e2 3e e1 6e e1 4e e2 D e e1 e e2 e e1 e e2 1 2 类型二 平面向量基本定理的应用 例 2 如图所示 在 ABCD中 E F分别是BC DC边上的中点 若 a a b b 试以a a b b为基底表示 AB AD DE BF 引申探究 若本例中其他条件不变 设 a a b b 试以a a b b为基底表示 DE BF AB AD 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种 一种是利用向量的线性运算及法则对所求向 量不断转化 直至能用基底表示为止 另一种是列向量方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 精品文档 17欢迎下载 跟踪训练 2 如图所示 在 AOB中 a a b b M N分别是边OA OB上的点 且 a a b b 设与 OA OB OM 1 3 ON 1 2 AN 相交于点P 用基底a a b b表示 BM OP 1 下列关于基底的说法正确的是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定 该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D 2 如图 已知A a a b b 3 用a a b b表示 B AC BD DC AD 则等于 AD A a a b b B a a b b 3 4 1 4 3 4 C a a b b D a a b b 1 4 1 4 3 4 1 4 3 已知向量e e1 e e2不共线 实数x y满足 2x 3y e e1 3x 4y e e2 6e e1 3e e2 则x y 4 如图所示 在正 方形ABCD中 设 a a b b c c 则当以a a b b为基底时 可表 AB AD BD AC 示为 当 以a a c c为基底时 可表示为 AC 5 已知在梯形ABCD中 AB DC 且AB 2CD E F分别是DC AB的中点 设 a a b b 试用a a b b为基底 AD AB 表示 DC BC EF 1 对基底的理解 1 基底的特征 基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两向量不共线是这两个向 精品文档 18欢迎下载 量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形 式 且分解是唯一的 2 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问题时 我们可以选择适当的基底 将问题 中涉及的向量向基底化归 使问题得以解决 4 4 1 1 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 4 4 2 2 平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示 学习目标 1 了解平面向量的正交分解 掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和 差及数乘向量的坐标运算法 则 3 正确理解向量坐标的概念 要把点的坐标与向量的坐标区分开来 知识点一 平面向量的正交分解 思考 如果向量a a与b b的夹角是 90 则称向量a a与b b垂直 记作a a b b 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有 向量的一组基底 梳理 把一个向量分解为 的向量 叫作把向量正交分解 知识点二 平面向量的坐标表示 思考 1 如图 向量i i j j是两个互相垂直的单位向量 向量a a与i i的夹角是 30 且 a a 4 以向量i i j j为基底 如何表示向量a a 思考 2 在平面直角坐标系内 给定点A的坐标为A 1 1 则A点位置确定了吗 给定向量a a的坐标为a a 1 1 则向量a a的位置确定了吗 思考 3 设向量 1 1 O为坐标原点 若将向量平移到 则的坐标是多少 A点坐标是多少 BC BC OA OA 梳理 1 平面向量的坐标 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个 i i j j作为基底 对于平面内的任意向 量a a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实数x y 使得a a xi i yj j 我们把实数对 x y 叫作向量a a的坐 精品文档 19欢迎下载 标 记作a a x y 在平面直角坐标平面中 i i 1 0 j j 0 1 0 0 0 2 点的坐标与向量坐标的区别和联系 表示 形式 不同 向量a a x y 中间用等号连接 而点A x y 中间没 有等号 区 别 意义 不同 点A x y 的坐标 x y 表示点A在平面直角坐标系中 的位置 a a x y 的坐标 x y 既表示向量的大小 也表示向量的方向 另外 x y 既可以表示点 也可 以表示向量 叙述时应指明点 x y 或向量 x y 联系 当平面向量的始点在原点时 平面向量的坐标与向量 终点的坐标相同 知识点三 平面向量的坐标运算 思考 设i i j j是分别与x轴 y轴同向的两个单位向量 若设a a x1 y1 b b x2 y2 则 a a x1i i y1j j b b x2i i y2j j 根据向量的线性运算性质 向量a a b b a a b b a a R R 如何分别用基底i i j j表示 梳理 设a a x1 y1 b b x2 y2 A x1 y1 B x2 y2 数学公式文字语言表述 向量加 减 法 a a b b x1 x2 y1 y2 向量和与差的坐标分别等于各向量 相应坐标的和与差 向量数乘 a a x1 y1 实数与向量积的坐标分别等于实数 与向量的相应坐标的乘积 向量坐标 x2 x1 y2 y1 AB 一个向量的坐标等于其终点的坐标 减去始点的相应坐标 类型一 平面向量的坐标表示 例 1 如图 在平面直角坐标系xOy中 OA 4 AB 3 AOx 45 OAB 105 a a b b OA AB 四边形OABC为平行四边形 1 求向量a a b b的坐标 2 求向量的坐标 BA 精品文档 20欢迎下载 3 求点B的坐标 反思与感悟 在表示点 向量的坐标时 可利用向量的相等 加减法运算等求坐标 也可以利用向量 点的坐标 的定义求坐标 一般利用不等式思想求解 即把问题条件转化为关于参数的不等式 组 再解不等式 组 就可以 求得参数的取值范围 跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形ABC 顶点A在坐标原点 AB边在x轴上 点C在第一象限 D为AC的中 点 分别求向量 的坐标 AB AC BC BD 类型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 a a b b c c AB BC CA 1 求 3a a b b 3c c 2 求满足a a mb b nc c的实数m n的值 反思与感悟 向量坐标运算的方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 跟踪训练 2 已知a a 1 2 b b 2 1 求 1 2a a 3b b 2 a a 3b b 3 a a b b 1 2 1 3 类型三 平面向量坐标运算的应用 例 3 已知点A 2 3 B 5 4 C 7 10 若 R R 试求当 为何值时 AP AB AC 1 点P在第一 三象限的角平分线上 2 点P在第三象限内 反思与感悟 1 待定系数法是最基本的数学方法之一 实质是先将未知量设出来 建立方程 组 求出未知数的值 是待定系数法的基本形式 也是方程思想的一种基本应用 2 坐标形式下向量相等的条件 相等向量的对应坐标相等 对应坐标相等的向量是相等向量 由此可建立相等关 精品文档 21欢迎下载 系求某些参数的值 跟踪训练 3 已知向量a a 2 1 b b 1 2 若ma a nb b 9 8 m n R R 则m n的值为 1 设平面向量a a 3 5 b b 2 1 则a a 2b b等于 A 7 3 B 7 7 C 1 7 D 1 3 2 已知向量 3 2 5 1 则向量的坐标是 OA OB 1 2AB A B C 8 1 D 8 1 4 1 2 4 1 2 3 已知四边形ABCD的三个顶点A 0 2 B 1 2 C 3 1 且 2 则顶点D的坐标为 BC AD A B C 3 2 D 1 3 2 7 2 2 1 2 4 已知点A 0 1 B 3 2 向量 4 3 则向量等于 AC BC A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 5 如图 在 6 6 的方格纸中 若起点和终点均在格点的向量a a b b c c满足c c xa a yb b x y R R 则 x y 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量 是向量坐标表示的理论依据 向量的坐标表示 沟 通了向量 数 与 形 的特征 使向量运算完全代数化 2 要区分向量终点的坐标与向量的坐标 由于向量的起点可以任意选取 如果一个向量的起点是坐标原点 这个 向量终点的坐标就是这个向量的坐标 若向量的起点不是原点 则向量的终点坐标不是向量的坐标 此时 xB xA yB yA AB 3 向量和 差的坐标就是它们对应向量坐标的和 差 数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积 4 4 3 3 向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 学习目标 1 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2 能根据平面向量的坐标 判断向量是否共线 3 掌握三点 共线的判断方法 知识点 向量平行 精品文档 22欢迎下载 已知下列几组向量 1 a a 0 3 b b 0 6 2 a a 2 3 b b 4 6 3 a a 1 4 b b 3 12 4 a a 1 b b 1 1 2 1 2 思考 1 上面几组向量中 a a b b有什么关系 思考 2 以上几组向量中 a a b b共线吗 思考 3 当a a b b时 a a b b的坐标成比例吗 思考 4 如果两个非零向量共线 你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗 梳理 设a a b b是非零向量 且a a x1 y1 b b x2 y2 1 当a a b b时 有 2 当a a b b且b b不平行于坐标轴 即x2 0 y2 0 时 有 即若两个向量 与坐标轴不平行 平 行 则它们相应的坐标 若两个向量相对应的坐标成比例 则它们 类型一 向量共线的判定与证明 例 1 1 下列各组向量中 共线的是 A a a 2 3 b b 4 6 B a a 2 3 b b 3 2 C a a 1 2 b b 7 14 D a a 3 2 b b 6 4 2 已知A 2 1 B 0 4 C 1 3 D 5 3 判断与是否共线 如果共线 它们的方向相同还是相反 AB CD 反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断 特别是当利用向量共线坐标的 条件进行判断时 要注意坐标之间的搭配 跟踪训练 1 已知A B C三点的坐标分别为 1 0 3 1 1 2 求证 AE 1 3AC BF 1 3BC EF AB 类型二 利用向量共线求参数 例 2 已知a a 1 2 b b 3 2 当k为何值时 ka a b b与a a 3b b平行 精品文档 23欢迎下载 引申探究 1 若本例条件不变 判断当ka a b b与a a 3b b平行时 它们是同向还是反向 2 在本例中已知条件不变 若问题改为 当k为何值时 a a kb b与 3a a b b平行 又如何求k的值 反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题 一般有两种思路 一是利用向量共线定理a a b b b b 0 列方程组求解 二是利用向量共线的坐标表达式x1y2 x2y1 0 求解 跟踪训练 2 设向量a a 1 2 b b 2 3 若向量 a a b b与向量c c 4 7 共线 则 类型三 三点共线问题 例 3 已知向量 k 12 4 5 10 k 当k为何值时 A B C三点共线 OA OB OC 反思与感悟 1 三点共线问题的实质是向量共线问题 两个向量共线只需满足方向相同或相反 两个向量共线与 两个向量平行是一致的 利用向量平行证明三点共线需分两步完成 证明向量平行 证明两个向量有公共 点 2 若A B C三点共线 即由这三个点组成的任意两个向量共线 跟踪训练 3 已知A 1 3 B C 9 1 求证 A B C三点共线 8 1 2 1 已知a a 1 2 b b 2 y 若a a b b 则y的值是 A 1 B 1 C 4 D 4 2 与a a 6 8 平行的单位向量为 A B C 或 D 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 已知三点A 1 2 B 2 4 C 3 m 共线 则m的值为 4 已知四边形ABCD的四个顶点A B C D的坐标依次是 3 1 1 2 1 1 3 5 求证 四边形 ABCD是梯形 5 已知A 3 5 B 6 9 M是直线AB上一点 且 3 求点M的坐标 AM MB 1 两个向量共线条件的表示方法 已知a a x1 y1 b b x2 y2 精品文档 24欢迎下载 1 当b b 0 a a b b 2 x1y2 x2y1 0 3 当x2y2 0 时 即两向量的相应坐标成比例 x1 x2 y1 y2 2 向量共线的坐标表示的应用 1 已知两个向量的坐标判定两向量共线 联系平面几何平行 共线知识 可以证明三点共线 直线平行等几何问 题 要注意区分向量的共线 平行与几何中的共线 平行 2 已知两个向量共线 求点或向量的坐标 求参数的值 求轨迹方程 要注意方程思想的应用 向量共线的条件 向量相等的条件等都可作为列方程的依据 学习目标 1 了解平面向量数量积的物理背景 即物体在力F F的作用下产生位移s s所做的功 2 掌握平面向量数 量积的定义和运算律 理解其几何意义 3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 知识点一 两向量的夹角 思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点 它们存在夹角吗 若存在 向量的夹角与直线的夹角一样 吗 思考 2 ABC为正三角形 设 a a b b 则向量a a与b b的夹角是多少 AB BC 梳理 1 夹角 已知两个 a a和b b 作 a a OA b b 则 0 180 叫作向量a a与b b的夹 OB 角 如图所示 当 0 时 a a与b b 当 180 时 a a与b b 2 垂直 如果a a与b b的夹角是 90 我们说a a与b b垂直 记作a a b b 规定零向量可与任一向量垂直 知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F F的作用下产生位移s s 如图 精品文档 25欢迎下载 思考 1 如何计算这个力所做的功 思考 2 力做功的大小与哪些量有关 梳理 1 数量积 已知两个非零向量a a与b b 它们的夹角为 我们把 叫作a a与b b的数量积 或内 积 记作a a b b 即a a b b 2 数量积的特殊情况 当两个向量相等时 a a a a 当两个向量e e1 e e2是单位向量时 e e1 e e2 知识点三 平面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫作向量b b在向量a a上的射影 什么叫作向量a a在向量b b上的射影 思考 2 向量b b在向量a a上的射影与向量a a在向量b b上的射影相同吗 梳理 1 射影 若非零向量a a b b的夹角为 则 叫作向量b b在a a方向上的射影 简称为投影 2 a a b b的几何意义 a a与b b的数量积等于a a的长度 a a 与b b在a a方向上的射影 的乘积 或b b的长度 b b 与a a 在b b方向上的射影 的乘积 知识点四 平面向量数量积的性质 思考 1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数 负数和零 其数量积的符号由什么来决定 梳理 向量的数量积的性质 1 若e e是单位向量 则e e a a 2 a a b b 3 a a a a 4 cos a a b b 0 a a b b a a b b 5 对任意两个向量a a b b 有 a a b b a a b b 当且仅当a a b b时等号成立 精品文档 26欢迎下载 类型一 求两向量的数量积 例 1 已知 a a 4 b b 5 当 1 a a b b 2 a a b b 3 a a与b b的夹角为 30 时 分别求a a与b b的数量积 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤 1 求a a与b b的夹角 0 180 2 分别求 a a 和 b b 3 求数量 积 即a a b b a b a b cos 要特别注意书写时a a与b b之间用实心圆点 连接 而不能用 连接 也不能省 去 跟踪训练 1 已知菱形ABCD的边长为a ABC 60 则 等于 BD CD A a2 B a2 C a2 D a2 3 2 3 4 3 4 3 2 类型二 求向量的模 例 2 已知 a a b b 5 向量a a与b b的夹角为 求 a a b b a a b b 3 引申探究 若本例中条件不变 求 2a a b b a a 2b b 反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a a2 a a 2 即 a a 勿忘记开方 a a2 跟踪训练 2 已知 a a b b 5 且 3a a 2b b 5 求 3a a b b 的值 类型三 求向量的夹角 例 3 设n n和m m是两个单位向量 其夹角是 60 求向量a a 2m m n n与b b 2n n 3m m的夹角 反思与感悟 当求向量夹角时 应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角 注意向量夹角的范围是 0 跟踪训练 3 已知a a b b 9 a a在b b方向上的射影为 3 b b在a a方向上的射影为 求a a与b b的夹角 3 2 1 已知 a a 8 b b 4 a a b b 120 则向量b b在a a方向上的射影为 A 4 B 4 C 2 D 2 精品文档 27欢迎下载 2 设向量a a b b满足 a a b b a a b b 则a a b b等于 106 A 1 B 2 C 3 D 5 3 若a a b b c c与a a及与b b的夹角均为 60 a a 1 b b 2 c c 3 则 a a 2b b c c 2 4 在 ABC中 13 5 12 则 的值是 AB BC CA AB BC 5 已知正三角形ABC的边长为 1 求 1 2 3 AB AC AB BC BC AC 1 两向量a a与b b的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当a a 0 b b 0 0 90 时 也可以为负 当a a 0 b b 0 90 0 a a b b 0 2 2 跟踪训练 3 设两个向量e e1 e e2满足 e e1 2 e e2 1 e e1 e e2的夹角为 60 若向量 2te e1 7e e2与e e1 te e2的夹角 为钝角 求实数t的取值范围 1 下面给出的关系式中正确的个数是 0 a a 0 a a b b b b a a a a2 a a 2 a a b b a a b b a a b b 2 a a2 b b2 A 1 B 2 C 3 D 4 2 已知 a a 1 b b 且 a a b b