《量子力学》试卷二.doc

一、判断题（共10分，每题2分）1对于定态而言，几率密度不随时间变化。 ( ) 2若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。 ( )3所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( )4在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。 ( ) 5在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。 ( )得 分评卷人二、填充题（共10分，每题2分）1根据波函数的统计解释，波函数在空间中某一点的强度和 成比例。2厄密算符在其自身表象中是一个 矩阵，且 为相应的本征值。3第一玻尔轨道半径 。4在非简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生 ，在简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生 。5能量为100电子伏特的自由电子的德布罗意波长为 。得 分评卷人三、说明题（共8分）试说明算符和它所表示的力学量F之间的关系。得 分评卷人四、证明题（共24分，每题8分）1若厄密算符和相互对易，且、的本征值是非简并的，试证这两个算符有组成完全系的共同本征函数。2已知体系的哈密顿算符，试证：。3试证算符的本征函数为，其中A为常数，为相应的本征值。得 分评卷人五、计算题（共48分，每题 12分）1粒子在一维无限深势阱 中运动，求其定态能量和定态波函数。2一约束在平面上沿一定半径绕z轴（垂直平面）转动的平面转子（转动惯量为I）处于态中，试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率，并求平均值。3设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为 ，其中a、b为小的实数，且，求（1）用微扰公式求能量至二级修正；（2）直接求能量，并和（1）所得结果比较。提示：当c 1时，4考虑由三个玻色子组成的全同粒子体系，限定单粒子状态只能是、和，试写出体系的所有可能状态波函数。量子力学试卷答案二一、判断题 每小题2分，共10分。（在每小题后的括号内对的打“”，错的打“”）12345二、填空题 每小题2分，共10分1在该点找到粒子的几率2对角，其对角元3（或0.5）4移动，分裂51.225三、说明题 每小题8分，共8分若体系处在的本征态中，测量力学量F，有确定值，即在态中的本征值（）； （4分）若体系处在任意态中，测量力学量F，有好多种可能值，每次测得的结果不能预先确定，但只能是的本征值中的一个，而且测得结果为的几率为。，波函数已归一化 （4分）四、证明题 每小题8分，共24分1设， （4分）不简并，与最多只能相差一个常数因子， （2分）也是的本征函数，而是厄密算符的本征函数系，组成完全系。 （2分）2 （3分） ， （3分） 。 （2分）3设的本征函数为，相应的本征值为，则 （4分）， （4分）对所有的实数值，均满足标准条件。五、计算题 每小题12分，共48分1，x a；，； （4分）令，则，A = 0，n = 1，2， （3分）由归一化条件，求得， （2分）所求的定态能量和定态波函数为，n = 1，2，。 （3分）2 ，由，求得， （6分）能量的可能取值为， 相应几率为 ， 平均值为 ； （3分）角动量的可能取值为， ， ， 相应几率为 ， ， 平均值为 。 （3分）3（1）， （2分），属于非简并情形， （2分）； （2分）（2）， （4分）当c 1时，取，则 ； （1分） 。 （1分）4共有10种可