《科学时代》2010年3月下6期--有没有全体素数产生的模式.doc

有没有全体素数产生的模式王晓明（1）王蕊珂（2）（1） 四川省乐山市市中区长青路2518号3栋1单元401室（2） Ohio-Wesleyan-University摘要：本文給出了素数通项公式，孪生素数通项公式，把孪生素数猜想转换成为一个初等数论问题加以解決。关键词：素数；素数通项公式；孪生素数通项公式；孪生素数猜想 。一、 问题的提出在数学中，再也没有比1，2，3，.这些自然数更加自然的意识了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，所有自然数都可以用素数这种最基本性质表示。最早给出素数定义的是公元前300年左右的古希腊数学家欧几里得，他在不朽的名著原本第七卷就开宗明义的指出：“素数是只能够用单位度量的数”。用现代汉语描述就是：“素数就是这样一种数，在小于或者等于它的自然数中，只有1和它自身可以整除它”。欧几里得还天才地证明了有无穷多个素数。被认为是来自上帝的灵感。既然有无穷多个，又有明确的定义，那么就应该有一个可以表示所有素数的通项公式。可是，令人遗憾，2000多年来，人们没有找到这个公式，也就就埋下了寻求素数通项公式的伏笔，所有，以布劳威尔为首的直觉主义学派不以为然：“你没有给出第个素数是如何构成的，就不能算是好的证明。”二、 寻找素数公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：（一） 要得到不大于某个自然数n的所有素数，只要在2-n 中将不大于的素数的倍数全部划去即可。（二） 通过命題的等价转换，由此可以推出定理： “ 若是合数，则它有一个因子满足1”。（关于这一定理读者可以参见基础数论13页，U杜德利著，上海科技出版社）（三） 把（二）的命題等价转换可以推出定理：“ 若自然不能被不大于的任何素数整除，则是素数”。（关于这个定理可以参见代数学辞典259页上海教育出版社）因而定理的内容发生了等价转化。（四） 我们还可以把（三）中这一段汉字转换成为英语字母的等价形式： 。 （1）这里，表示顺序素数2，3，5，。 =1，2，1。也就是不等于0，若则是素数。（五）我們把公式（1）还可以等价转换成同余式组形式：。 （2）由于（2）式的模两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，公式（2）在给定值时，在内有唯一解，利用上两公式可构造任意大的数以内的全部素数。例1时，由解得3，5，7。（已得区间（）的全部素数）；时由。解得7，13，19；由。解得5，11，17，23；（已得区间（）的全部素数）。时，有下表解：31 11，417，37 17，4713，43 2319 29已得（）区间内全部素数，仿此下去可求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。也不会有合数混入。仅仅从（1）式我们还看不出什么名堂，一转入同余式组（2），线条就清晰了。一旦用孙子定理揭示，我们就看到无限广阔的天地。大家知道，許多重要問題的解決往往是命題的轉換。例如，费马大定理的解決問題是因为通过谷山-志村猜想，把问题转换成為橢圓曲线形式；庞加莱猜想也是佩雷尔曼把问题转换之后得到解決。這是因為通过转换人們找到了解決问题的工具。由孙子定理知，（1）式和（2）式在内有（1）（1）（1）个解，两式的本质是从中除出形的合数，这一点与埃拉托塞尼筛法略有不同，埃氏筛是用去筛以内的合数，剩下的就是以内的素数了，例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的是（7，49）区间的素数了。（1）式和（2）式是用去筛以内的形数（），连同也筛掉了。切比雪夫证明了：“对于由4开始的所有都是对的，”所以，若时，（1）式和（2）式的计算结果只能取（1，）区间的值才是素数。（322；5232；72532，但1127532，从11开始都是这样了）。清华大学出版社品数学2010年时，（1）式和（2）式的解：74+174+274+374+474+574+653+1=1121311516118153+2=12737157671879753+3=43163731931031353+4=169791991091913953+1=71191101111314153+2=197107171374716753+3=11323143531738353+4=291495917989209 求得了（，）区间的26个素数（小于121的26个值）。共有（21）（31）（51）（71）=48个解，小于的解有27个，加上被筛掉的的四个素数2，3，5，7，减去筛不掉的，既不是合数也不是素数的“1”共有：（个）素数，设表示不大于的素数个数： （3）方括号表示取整数，利用（3）式计算素数个数可相当精确。下面是利用（3）式的计算值与实际值计算值实际值3445997151511303013393917606119717223979929145146311611623721921910112511252上面的表格是说，例如，在101平方内，即101x101=10201有1252个素数，用（3）式计算是1251个素数，相差很小。读者也许会想，这实在太麻烦了，每一个数都是一个巨大方程，这样的工作量也太大了。亲爱的读者朋友，你注意了吗？在K=4时，表格内所有的数字都是有规律的，也就是我们根本不需要运算，只要往表格内填写就是了。我们已经摆脱了埃拉托塞尼筛法的控制。以上内容可以参考谈谈素数表达式 （中等数学杂志）1999年2期和关于一个寻找素数方法的理论依据（中等数学杂志）2001年4期和孪生质数公式（中等数学杂志）2000年1期。三、 寻找孪生素数我们把上面的（三）中的定理：“若自然不能被不大于的任何素数整除，则是素数”移植到孪生素数：“若自然数不能被不大于的任何素数整除，则都是素数，称为孪生素数”。我们在公式（1）的基础上将孪生素数用公式表达为： （4），表示顺序排列的素数2，3，5。，。注意，是说，是说或者说（4）式的本质就是筛去的数和筛去。若，则与是一对孪生素数 。同样我们可以把（4）式等价转换成为线性同余式组： （5） 由于这类同余式组的模两两互素，根据孙子定理，我们知道（5）式在给定值时在有唯一解。利用（4）式或（5）式）可以构造区间上的一切孪生素数。例2和知3与3+2，5与5+2是孪生素数，从而求得了（，）区间的全部孪生素数。，解得5，11，17，得知5与5+2，11与11+2，17与17+2是孪生素数，从而求得了（5，）区间的全部孪生素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部孪生素数。并且一个不漏地求得，不会混入一个合数。5+15+25+411，411729解得：从而求得了区间的全部孪生素数。根据孙子定理知（4）式（5）式在内有个解。四，孪生素数的个数孪生素数猜想就要证明（4）式（5）式在值任意大时都有小于的解。有了孪生素数通项公式，我们证明孪生素数猜想就像做一道中学数学题一样容易。可以利用孪生素数普遍公式（4）（5）给孪生数猜想一个严格的证明，先证明一个引理。引理：任两个含连续自然数个数相等的区间，筛次后，被筛（或末被筛）数相差不超过。说明：本筛法与埃拉托塞筛法不同，埃氏筛先用2筛，然后把2的倍数剔除掉；再用3筛，然后又把3的倍数剔除掉；再用5筛，。本筛法是已筛过的数不马上剔除掉，而是做上标记，等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是，有一些含有几个不同素因子的数可能就要被筛几遍，例如，“6”就要被“2”和“3”各筛一遍。证明：根据除法算式定理：“给定正整数和，0，存在惟一整数和，使”得知，如果从中筛形数，个连续自然数中，最多含有个形数，个连续自然数中，最多含有1个形数。例如，35个连续自然数中最多含有11+1=12个形数。如3670有12个形数，135有11个3形数。现设某两个区间为与，含自然数的个数分别为|与|，|=|，下证明去筛，两区间被筛形数（或未被筛数）个数相差最多不超过1，由上所述筛法，用顺序素数依次去筛，两区间每次被筛形数（或未被筛数）个数相差最多不超过1，故筛次两区间被筛数（或未被筛数）个数最多不超过个。证法（1），设|=则|=，即区间和中均至少含有个形数，又由于，故个连续自然数中至多有一个形数，即被筛形个数相差不超过1。证法（2），假若不然，筛次有两个区间与，被筛数相差大于，比如有+1个，那会出现什么问题呢？我们问第是个什么，见图，假如与用2和3筛，如果出现了相差3个，第一个记为形，第二个记为形，问第三个（？）是什么形式，（每一方格表示一个自然数，）。A：B： 已筛过部分 未筛过部分如果第三个（？）是或形，显然与除法算式定理矛盾；如果不是或形，它就不应“站在”已筛过部分行列，无论哪种情况，假设都不成立，证毕。孪生素数问题的证明：证明：设孪生素数有穷，最大一对记为与，按式（4）写上 （4）其中。若，则与是一对孪生素数。注意，且与互质，由于我们已假设最大一对孪生素数为与所以，式（4）在内无解，否则与是一对大于与的孪生素数对。现在我们要证明式（4）至少有一解存在于内，所以小于即小于。1）已知内有个解，因为式（4）中最小剩余 ，。，都是偶数所以有个值。2）把按为一组，分成个组（或区间）（例如，时，2357=210，按57=35为一组，分成23=6个组：135，3670，71105，106140，141175，176210）。3）假如孪生素数有穷，即第一区间无解，那么，其他区间解数也不大于个，因为（4）（5）式是从中筛去与形的数，共筛次，根据引理： 任两含连续自然数个数相等的区间，筛次后被筛数相差不大于。还有个区间，解的数目小于或等于个。【】【】【】第二项与第三项比较，一一对应，第三项的对应第二项。第三项作分子，第二项作分母。（6）前11项：=1.086后面每一项分子大于或者等于分母。当时，=17，。4）也就是说若任何一个区间无解，都会造成总解数（好比信封）少于（4）（5）式固有的解（好比抽屉），而（4）式（5）式的解是由孙子定理给定的。与孙子定理矛盾必定是错误的（抽屉原则），原先假设孪生素数有穷是错误的。证毕，孪生素数无穷。例证：假定最后一对孪生素数是59和61，那么对于下式：。来说，（61是第18个素数）就没有小于的解，现在我们将以5961为区间，共有2353个区间，按假设，第一区间1，5961就无解，根据引理，其它区间的解数也不超过个，于是总解数不大于（2353-1）36个。【（2353-1）36】【（2353）36】【（2-1）（3-2）（59-2）（61-2）】。而后者是（4）式固有的解，我们将第二项与第三项比较，第三项（）对应第二项一一对应,第