最值问题.doc

内部资料 最大与最小问题 第 一 课 时教学内容：简单数字问题中的最大与最小问题教学目的：1、让学生掌握一些常见的简单求最大、最小值的问题 2、根据具体问题综合运用所学知识进行求解教学重难点：某个量在一定条件小取得最小值或最小值教学过程：例1、把14分解成两个自然数的和，使它们的乘积最大，求这个最大的乘积。分析：先列出14可能分解成两个自然数的和所有的形式：14=113 113=1414=212 212=2414=311 311=3314=410 410=4014=59 59=4514=68 68=4814=77 77=49由上述各算式观察可以发现，拆成的两个数越接近，积就越大。解： 把14分解成两个相等的数时乘积最大。14=77 它们的积是77=49 答：这个最大乘积是49.规律：当两个数的和一定时，若它们相等，乘积最大；在它们不相等时，两数差距越大，乘积越小，两数差距越小，乘积越大。例2、用周长是74厘米的铁丝围成一个长方形框架（长、宽为整数厘米），围成的长方形框架的面积最大是多少平方厘米？分析：已知长方形的周长是74厘米，那么它的长和宽是定数。长方形的面积等于长乘宽，要想长方形的面积最大，那么长和宽的大小越接近面积越大。因为长宽=742=37厘米，所以围成的长方形长宽各等于19厘米、18厘米，面积最大是1918=162（平方厘米）。解：742=37（厘米）37=19181918=162（平方厘米）答：围成长方形面积最大是162平方厘米。例3、把14分成若干个自然数的和，再计算这些数的乘积，使得到的积尽可能的大，这个乘积最大是多少？分析：假设分成的自然数中有1，a是另一个自然数，因为1a1a，所以把一个数分成1a的形式，还不如就是本身所得的积大。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。也就是说，只要有大于4的整数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。由以上分析得到，分成的自然数中只有2或者3两种。解：因为222=6，而222=8；33=6，而33=9.说明虽然两个3和三个2的和都是6，但两个3的积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此，14=33332，乘积最大为：33332=162. 答：这个乘积最大是162.规律：把一个数拆分成若干个自然数的和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应该全是2或者3，而且2最多不超过两个。练习作业：1、 a和b都是自然数，并且ab=100，a和b相乘的积最大是多少？最小是多少？2、 a和b都是自然数，并且ab=87，a和b相乘的积最大是多少？最小是多少？3、 a和b都是自然数，并且ab=48，a和b相加的和最大是多少？最小是多少？4、 比较下面两个乘积的大小： 1234567887654321 12345677876543225、 用一段长48米的篱笆围成一个猪圈，要使猪圈的面积最大，那么这个猪圈最大是多少平方米？6、 计划用围墙围成一个面积是540平方米的长方形菜地，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形的围墙共有多少米？7、 把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？ 第 二 课 时教学内容：常见应用题中求最大值与最小值教学目的：1、掌握在具体情况下灵活求最大值与最小值2、培养学生思维发散性、灵活性教学重难点：运用所学知识综合解决问题教学过程：例1、将100只杯子分别装入若干个盒子中每盒装的个数互不相同，并且每盒都不能空，最多装入多少个盒子？分析：由于杯子只有100只，要想盒子数最大，那么每盒中装的杯子数量就要尽可能的小。每个盒子中的杯子数互不相同，所以可以尝试着从最少的数向盒子中开始放置杯子：第1盒放1个杯子；第2盒放2个杯子；第3盒放3个杯子 因为12345678910111213=91100，所以有9个杯子没有放。显然，当我们把9个杯子放进第13个盒子中的时候，此时的方法满足条件。每个盒子中杯子的数量分别是： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、22 所以最多可以装13个盒子。答：最多可以装13个盒子。例2、某合唱团晚上要经过一座桥去演出，他们只有一只手电筒，一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，两人同行时以较慢者的速度为准。四人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，他们最少需要多少分？分析：四个人都要过桥，而只有一只手电筒，所以那个把手电筒带来带去的人回去的时间必须最少，显然选过桥时间是1分钟的人来回的带人过桥。那么这四个人过桥需要101512=19（分钟） 解： 101512=19（分钟） 答：他们最少需要19分钟。例3、某合唱团团长有一个紧急通知要发给120个成员，如果打一个电话需要1分钟，每个合唱团员都有电话。请你算一算最少要多少时间，才可以全部通知到所有的团员？ 分析：第1分钟第2分钟第3分钟第4分钟第5分钟第6分钟第7分钟2人4人8人16人32人64人128人答：至少要7分钟才能通知到所有团员。作业练习：1、电视台要播放一部30集电视连续剧。如果要求每天安排播放的集数互不相同，该电视剧最多可以播放几天？2、将18这8个数字各使用一次，分别写出两个不同的四位数，使这两个数相乘的积最大，那么这两个四位数各是多少？3、有一名牧童要将四头牛赶过河，已知四头牛的过河时间分别是：4分钟、5分钟、10分钟、12分钟，每次只能骑一头牛赶一头牛，快的可以骑慢，但慢的不能骑快。将4头牛都赶过河去，最少要几分钟？4、用一只平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个饼要2分钟（规定正、反面各需1分钟）。问煎3个饼至少要几分钟？5、需要再最短的时间里，向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知1个人要1分钟，那么5分钟能通知多少人？6、公司经理要把一个消息通知给他手下的420名员工，如果用电话联系，每通知一个员工要0.5分钟。最少要几分钟才能通知每一个员工？7、工厂办公室主任要把一个紧急通知传达给975人，假定打电话联系，每通知一个人要1分钟；而主任每开一个简短的会议可通知60人，但要花5分钟。主任要使通知在最短的时间里通知到每一个人，至少要几分钟？8、五人参加数学竞赛，一共得分434分，第一名得分100分，其余各人得分都是整数，并且每人所得分数各不相同，那么获得第五名的人最多得多少分？9、有三堆砝码，第一堆砝码中每个砝码重3克，第二堆砝码中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码，使它们的重量为130克。写出你的取法，其中3克、5克、7克砝码各需要几个？第 三 课 时教学内容：从最不利情况出发解决最大值与最小值问题教学目的：1、掌握从最不利情况出发解决最大值与最小值问题的思考方法2、培养发展学生思维的全面性，提高综合分析能力教学重难点：从最不利情况出发解决最大值与最小值问题教学过程： 例1、口袋里有同样大小的红、黄、蓝三色小球个20个。问：一次最少摸几个才能保证有4个小球的颜色一样？分析：在摸球过程中最不利的情况是：摸出3个红球、3个黄球、3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个颜色相同的球。这时再摸一个球，无论是红、黄、蓝任何颜色，都能保证有4个小球颜色相同。所以最少应该摸10个球。解：3331=10（个）答：最少要摸出10个球才能保证有4个球的颜色相同。例2、盒子里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则抓一把必须不少于几支？分析：抓的巧，只要抓1支即可。然而并不能保证实现这种情况。最不利的情况是抓了13支都是不想要的黑笔与蓝笔。这时只要再抓1支就一定保证是红笔了。解：1031=14（支）答：必须一把抓14支才能保证其中至少有1支红笔。例3、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就坐了，小明来后一看，他无论坐在哪个位置上，都将与已就坐的人相邻。问：小明来之前就已经就坐的至少有多少人？ 分析： 如下图所示 解：小明来之前就已经就坐的至少有5人就坐。答：小明来之前就已经就坐的至少有5人就坐。作业练习：1、口袋中有同样大小的红、黄、蓝、紫、黑四种颜色的小球共25个，其中红球有3个，黄球5个，蓝球10个，黑球7个。现在一次从中任意取出n个小球，为保证这n个小球至少有5个颜色相同，n的最小值是多少？2、口袋里有三种颜色的筷子各10支，问：、至少取出几支才能保证三种颜色的筷子都取到？、至少取出几支才能保证颜色不同的筷子两双？、至少取出几支才能保证颜色相同的筷子两双？3、一排座位只有18个座位，为了使后面的来人就坐时，不论坐在哪个位置都有人与他相邻，那么开始时应该至少坐几人？4、口袋里有相同的红色、黄色和蓝色的小球各50各，一次至少摸出几个球才能保证至少有10各颜色相同的小球？第 四 课 时教学内容：从最不利情况出发解决最大值与最小值问题的拓展运用教学目的：灵活运用所学知识解决最大与最小问题教学重难点：对知识的灵活运用教学过程：例1、一把钥匙开一把锁，现再有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析：按最不利的情况考虑开第一把锁要开9次，开第2把锁要8次，同理依次试验 第9把锁要试1次，最后只剩一把锁和一把钥匙，所以第10把锁不用试。 解：987654321=45（次）答：最少要试验45次就一定能使全部的钥匙和锁匹配。例2、由2个小方格组成一列空格，这样的空格有若干列，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂完第几列时至少有2列是相同的？（有一列和另一列重复）分析：由于是任意涂色，要实现两列的颜色相同，涂的顺序也相同，就要根据最不利原则，先考虑各列没有重复的有那些情况。如：红红、红黑、黑红、黑黑共四种情况。 实际上，各不相同的列数总共只有4列，到第5列就必定重复前面涂过的4种情况中的某一种。 解：41=5（列）答：涂完第5列时，至少有2列相同。例3、有26各苹果任意地放在7各抽屉中去，在这些抽屉中苹果数较多的抽屉里，苹果数不会少于多少个？分析：将苹果先平均分配，再把余下的苹果分散为一个一个地放到不同的抽屉中去，就可以求得最小的“较多是”个数。解： 263=7 5（个） 31=4（个）答：抽屉中的苹果数较多的不少于4个苹果。作业练习：1、一把钥匙