Mathematica的基本运算.doc

第3章Mathematica的基本运算3.1 多项式的表示形式可认为多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。 Expandploy 按幂次展开多项式ployExpandAllploy 全部展开多项式ployFactorploy 对多项式poly 进行因式分解FactorTermsploy，x,y, 按变量 x,y,进行分解Simplifypoly 把多项式化为最简形式FullSimplifyploy 把多项式化简Collectpoly,x 把多项式poly按x幂展开Collectpoly,x,y 把多项式poly按x,y.的幂次展开1.下面是一些例子(1) 对x 8 -1 进行分解In1:=Factorx8-1Out1=(-1+x)(1+x)(1+x 2)(1+x4)(2) 展开多项式 (1+x) 5In2:= Expand(1+x)5Out2=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x5(3) 展开多项式 (1+x+3y) 4In3:= Expand(1+x+3y)4Out3=1+4x+6x 2+4x 3+x 4+12y+36xy+36x 2y+12x 3y+54y 2+108xy 2+54x 2y 2+108y 3+108xy 3+81y 4(4) 展开并化简(2+x) 4 (1+x) 4 (3+x) 3In4:= SimplifyExpand(2+x)4(1+x)4(3+x)3Out4=(3+x) 3 (2+3x+x 2 ) 42.多项式的代数运算多项式的运算有加、减、乘、除运算：+，-，*，/ 下面通过例子说明。(1) 多项式的加运算a 2 +3a+2与a+1相加(后面例子中也使用这两个多项式运算)In5:=(a2+3*a+2)+(a+1) 括号可以不要Out5= 3+4a+ a 2或者In5:=p1= a2+3*a+2;p2= a+1;p1+p2Out5= 3+4a+ a 2(2) 多项式相减In6:=(a2+3*a+2)-(a+1)Out6= 1+2a+ a 2或者In6:=p1-p2Out6= 1+2a+ a 2(3) 多项式相乘In7:=(a2+3*a+2)*(a+1)Out7= (1+ a) (2+3a+ a2)或者In7:=p1*p2Out7= (1+ a) (2+3a+ a2)In8:=Expandp1*p2Out8=2+5a+4a 2+a 3(4) 多项式相除In9:=(a2+3*a+2)/(a+1)Out9=或者In9:=p1/p2Out9=(5) 另外使用Cancel函数可以约去公因式In10:=Cancelp1/p2Out10=2+a两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式。例如：In11:=PolynomialQuotientx2, 1+2x,xOut11= 商的整式部分In12:= PolynomialRemainderx2, 1+2x,xOut12= 商的余式部分3.2方程及其根的表示 因为Mathematica把方程看作逻辑语句。在数学方程式表示为形如“x 2 -2x -3=0”的形式。在Mathematica中“=”用作赋值语句，这样在Mathematica中用“=”(两个等号中间没有空格)表示逻辑等号，则方程应表示为“x2 -2x -3=0” 。方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句。例如用Rootslhs=rhs,vars求方程x 2-3x+2=0的根显示为：In1:=Rootsx2-3x+3=0,xOut1=x=1|x=2 这种表示形式说明x取1或2均可而用Solvelhs=rhs,vars可得解集形式：In2:=Solvex2-3x+3=0,xOut2=x1,x21 求解一元代数方程下面是常用的一些方程求解函数：Solvelhs=rhs,vars 给出方程的解集NSolvelhs=rhs,vars 直接给出方程的数值解集Rootslhs=rhs,vars 求表达式的根FindRootlhs=rhs,x,x 0 求x在x 0附近的方程的数值解先看Solve函数例子：In3:=Solvex2-2x-3=0,xOut3= x-1,x3Solve函数可处理的主要方程是多项式方程。Mathematica总能对不高于四次的方程进行精确求解，对于三次或四次方程，解的形式可能很复杂。例如求x 3 +5x+3=0In4:=Solvex3+5x+3=0,x这时可用N函数近似数值解：In5:=N%Out5= x-0.5641,x0.28205-2.28881i,x0.28205+2.28881i当方程中有一些复杂的函数时，Mathematica可能无法直接给出解来。在这种情况下我们可用FindRoot来求解，但要给出起始条件。例如求3Cosx=lnx的解：In6:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,1Out6= x1.44726但只能求出x=1附近的解，如果方程有几个不同的解，当给定不同的条件时，将给出不同的解。如上例若求x=10附近的解命令为：In7:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,10Out7= x13.1064因此确定解的起始位置是比较关键，一种常用的方法是，先绘制图形观察后再解。In8:=Plot3*Cosx,Logx,x,1,15Out8= - Graphics -如上例通过图形可断定在x=5附近有另一根：In9:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,5Out9= x5.301992.求方程组的根 使用Solve，NSolve和FindRoot也可求方程组的解，只是使用时格式略有不同，下面给出一个Solve函数的例子：求解In10:=Slove2*x+3*y=9,x-2*y=1,x,yOut10= x3, y13求方程的全解如果我们求ax 2 +bx+c=0的根，我们用Solve函数解的结果是：In11:=Solvea*x2+b*x+c=0,xOut11= x, x这显然是不合理的，因为对不同的a,b,c方程的解有不同的情况，而上面只是给出部分解如果要解决这个问题可用Reduce命令，它可根据a,b,c的取值给出全部值。In12:=Reducea*x2+b*x+c=0,xOut12= a0 & (x=| x=|a=0 & b0 & x=|c=0 & b=0 & a=0因此Solve，Roots只给出方程的一般解，而Reduce函数数可以给出方程的全部可能解。4.解条件方程 在作方程计算时，可以把一个方程看作你要处理的主要方程，而把其他方程作为必须满足的辅助条件，你将会发现这样处理很方便。譬如在求解像x 4 + bx 2 +c = 0这样的方程时，通常我们采用x 2 = y的代换方法，使求解方程得到简化。在Mahematica中，我们通常是首先命名辅助条件组，然后用名字把辅助条件包含在你要用函数Solve 求解的方程组中。用Sc定义方程：sin 2 x + cos 2 x = 1，在这种条件下，求解方程cosx + 2sinx = 1。In1:=Sc=Sinx2+Cosx2=1Out1=Cosx 2 +Sinx 2 =1In2:=SolveCosx+2Sinx=1,Sc,Sinx,CosxOut2=Sinx0,Cosx1,Sinx,Cosx3.3求和与求积在Mathematica中，数学上的和式符号用Sum表示，连乘符号用Product表示。下面列出求和与求积函数的形式和意义： Sumf,i,imin,imax 求和Sumf,i,imin,imax,di 以步长di增加i求和Sumf,i,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求和Productf,i,imain,imax 求积Product f,i,imin,imax,di 以步长di增加i求积Productf,I,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求积Nsumf,i,imin,Infinity 求近似值NProductf,i,imin,Infinity 求近似值一些例子：求1到9的奇数和：In