备考2013初中数学存在性问题(含解析).doc

备考2013初中数学存在性问题（含解析）一解答题（共21小题）1（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为4，与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，若ABC的外接圆O1交y轴不同于点C的点D，且CD=AB，求tanACB的值；（3）如图2，设O1的弦DEx轴，在x轴上是否存在点F，使OCF与CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由3（2004威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C（O，1），x1，x2是方程ax2+bx+c=x的两个根，且x1=x2点A（x1，0）在点B（x2，0）的左边，以AB为直径的圆交y轴于C，D两点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，连接CE并延长交圆于F点，求EF的长；（3）过D点作圆的切线交直线CB于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由4如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为2（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，得ABC若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时PBD外接圆的半径；（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得AEB为直角，则t的取值范围是_；（4）点F是抛物线上一动点，若AFC为直角，则点F坐标为_5（2001哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，ABC的外接圆的圆心为点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的BEF和ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点B（1，0）、C（3，0），且过点A（3，6）（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连接CP、PB、BQ，试求四边形PBQC的面积（3）在x轴上找一点M，使以点B、P、M为顶点的三角形与ABC相似，求点M的坐标7如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4OA，ABC的面积为40（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C，求点P的坐标8如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，）连接AC、BC（1）则抛物线的对称轴为直线_；抛物线的解析式为_；（2）若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及点P坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出F点坐标9如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（1，5），与y轴相交于点D，直线y=kx+m与抛物线相交于B、C两点，与y轴相交于点E（1）求抛物线的解析式（2）求tanDCB的值（3）若点P在直线BC上，该抛物线上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由10如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为1（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；（3）如图，在抛物线上是否存在点C，使ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由11如图，已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B（1）求出y=mx2+nx+p的解析式，试猜想出与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；（2）若A，B的中点是点C，求sinCMB；（3）如果过点M的一条直线与y=mx2+nx+p图象相交于另一点N（a，b），ab且满足a2a+q=0，b2b+q=0（q为常数），求点N的坐标12（2005南充）如图，已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B（1）y=mx2+nx+p的解析式为_，试猜想出与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为_（2）A，B的中点是点C，则sinCMB=_（3）如果过点M的一条直线与y=mx2+nx+p图象相交于另一点N（a，b），a，b满足a2a+m=0，b2b+m=0，则点N的坐标为_13如图1，RtABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=x+b与RtABC相交，所截得的三角形面积是原RtABC面积的，求b的值；（3）将OAC绕原点O逆时针旋转90后得到OEF，如图2，再将OEF绕平面内某点旋转180后得MNQ（点M、N、Q分别与点E、F、O对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标14如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与ABC相似，求出点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出BDQ外接圆圆心的坐标15如图，二次函数y=ax2+bx（a0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）求实数k的值；求二次函数y=ax2+bx（a0）的解析式；设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EFOB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；在的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由16如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（2，1）三点（1）求抛物线的解析式；（2）反比例函数y=的图象的一个分支经过点C，并且另个分支与抛物线在第一象限相交求出k的值；反比函数y=的图象是否经过点A和点B，试说明理由；若点P（a，b）是反比例函数y=在第三象限的图象上的一个动点，连接AB、PA、PB，请问是否存在这样的一点P使PAB的面积为3？如果存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由17如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB已知x1、x2恰是方程x22x3=0的两根，且sinOBC=（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由18（2004茂名）已知：如图，在直角坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点（1）求点A的坐标；（2）设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B探究：直线AB是否M的切线并对你的结论加以证明；（3）在（2）的前提下，连接BC，记ABC的外接圆面积为S1、M面积为S2，若，抛物线y=ax2+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h求这条抛物线的解析式19如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标20如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，4），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）B、C两点坐标分别为（3，0），（8，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是对称轴l上的一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由21如图，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，将OAB绕坐标原点O顺时针旋转90得到OCD抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m（m0）个单位长度，使得顶点落在OAB内部（不包含OAB的各条边）时，求m的取值范围；（3）设直线AB与该抛物线的另一个交点为Q，若在x轴上方的抛物线上存在相异的两点P1、P2，使P1AQ与P2AQ 的面积相等，且等于t，求t的取值范围初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共21小题）1（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标考点：二次函数综合题1082614分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C（0，3），OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=BC=（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点P坐标为（2，1），对称轴为x=2又A（3，0），B（1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，D（4，3）又点M为BD中点，B（1，0），M（，），BM=；在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，点N的坐标为（，）或（，）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为4，与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，若ABC的外接圆O1交y轴不同于点C的点D，且CD=AB，求tanACB的值；（3）如图2，设O1的弦DEx轴，在x轴上是否存在点F，使OCF与CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题1082614专题：开放型分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，可得函数对称轴方程，又因为函数最低点的纵坐标为4，所以可求的抛物线顶点坐标，设出抛物线顶点式，利用待定系数法解答即可；（2）作出辅助线，过点O1作O1Px轴于P，连接O1A，构造有一角AO1P与ACB相等的直角三角形，并求出相应边长，根据正切函数定义解答；（3）由（2）中结论，直线CF1过C（0，5），O（3，3），可求出CF1的解析式，易得F1的坐标；根据对称性，由可以求出x轴上另一点F2（，0）OCF3与DEC时，根据相似三角形的性质求出OF3的横坐标解答：解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，所以二次函数的对称轴为x=3，因为其最低点的纵坐标为4，故顶点坐标为（3，4）设解析式为y=a（x3）24；将A（1，0）代入解析式得a（13）24=0，即a=1，解析式为y=（x3）24，化为一般式得抛物线的函数解析式为：y=x26x+5；（本小题3分）（2）tanACB=过点O1作O1Px轴于P，连接O1A，由抛物线与圆的对称性可知O1P所在的直线是抛物线的对称轴故OP=3，AP=OPOA=2，由CD=AB得：CD=AB=4过点O1作O1Qy轴于Q，由垂径定理得：DQ=CQ=2，O1P=OQ=OCCQ=3，故tanACB=tanAO1P=；（本小题3分）（3）设CE交x轴于F1，因为DEAB，所以DEC=OFC，COF1=CDE，所以OCF1DCE直线CF1过C（0，5），O（3，3），得其解析式为y=x+5；当y=0时，得x=，所以F1（，0）OCF2与DCE相似时，根据对称性，由可以求出x轴上另一点F2（，0）OCF3与DEC相似时，=，即=，两边平方得OF3=存在点F，点F的坐标分别为：F1（，0）、F2（，0）、F3（，0）、F4（，0）（适当写出过程，每求出一个点得1分）点评：此题综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和圆周角与圆心角的关系等基础知识，还结合相似三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的难度3（2004威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C（O，1），x1，x2是方程ax2+bx+c=x的两个根，且x1=x2点A（x1，0）在点B（x2，0）的左边，以AB为直径的圆交y轴于C，D两点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，连接CE并延长交圆于F点，求EF的长；（3）过D点作圆的切线交直线CB于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由考点：二次函数综合题1082614分析：（1）根据抛物线经过点C（0，1）求得c的值，然后利用根与系数的关系求得两根之和，进而确定a的值，从而确定函数的解析式；（2）将函数y=x2+x+1=（x）2+后，得到其对称轴，从而确定点E的坐标，在圆中利用相交弦定理求得EF的长即可；（3）先根据B、C两点的坐标求得直线BC的解析式，然后根据圆的对称性求得点D的坐标，得到直线DP上的所有点的纵坐标都为1并据此求得点P的坐标代入函数解析式坐标=右边，从而得到点P在抛物线上解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，1），c=1，又x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=O的两个根，且x1=x2，x1+x2=0，b=1，由x1=x2知O为圆点，OA=OB=OC，x1=1，x2=1，x1x2=1，a=1，抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=x2+x+1；（2）y=x2+x+1=（x）2+，抛物线y=x2+x+1的对称轴是x=，E点的坐标为（，0），CE=，AE=，BE=，由相交弦定理，得CEEF=AEBE，EF=； （3）设直线BC的解析式为y=kx+b 点B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），K=1b=1直线BC的解析式为y=x+1由圆的对称性可知点D的坐标为（O，1）显然，O的切线DPx轴，直线DP上的所有点的纵坐标都为1把y=1代入y=x+1，得x=2；点P的坐标为（2，1）将x=2，y=1代入y=x2+x+1得：左边=右边点P在抛物线上点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确的利用圆的对称性等知识，成功的将圆的知识与二次函数的知识结合起来4如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为2（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，得ABC若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时PBD外接圆的半径；（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得AEB为直角，则t的取值范围是2t2+，且t1、t3；（4）点F是抛物线上一动点，若AFC为直角，则点F坐标为（，）或（，）考点：二次函数综合题1082614专题：计算题；代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合；分类讨论分析：（1）知道了抛物线顶点P的横坐标，那么也就知道了抛物线的对称轴方程，点A、C的坐标可由直线AC求得，而点A、B关于抛物线对称轴对称，所以点B的坐标可得，再由待定系数法确定抛物线的解析式（2）由A、P、B、C四点坐标不难看出：PBA=CAB=45，那么若以点P、B、D为顶点的三角形与ABC相似，只需找出另一组对应角相等即可，分两种情况讨论：PCB=ABC，BPC=ABC；在上述两种情况中，先设出点D的坐标，再表示出BD、BP、AB、AC的长，根据得到的不同比例线段，列式求出点D的坐标知道了PD的长，由2r=求出三角形的外接圆半径（3）AEB是直角，那么点E必为以AB为直径的圆与直线l的交点，若符合条件的点E有两个，那么直线l与以AB为直角的圆有两个交点，所以在判断t的取值范围时，考虑两个方面：先求出最大、最小值，此时直线l与以AB为直角的圆相切；AEB是直角，那么点A、E或点B、E不重合，即直线l不能经过点A、B（4）过点F作y轴的垂线FH，过点F作x轴的垂线FG，先证明AFGCFH，根据得到比例线段列式求出点F的坐标解答：解：（1）由直线y=x+3知，点A（3，0）、C（0，3）；抛物线的顶点P的横坐标为2，所以对称轴x=2，则 B（1，0）；将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得 故抛物线的解析式：y=x2+4x+3（2）由（1）的抛物线解析式知：y=x2+4x+3=（x+2）21，则顶点P（2，1）；已知A（3，0）、C（0，3），B（1，0）、P（2，1）知：CAB=PBA=45，AB=2、AC=3、BP=；当ABC=BPD1时，ABCBPD1，得：=，即 =，BD1=3；则D1（4，0），则 PD1=；故PBD外接圆半径 r1=；当ABC=BD2P时，ABCBD2P，得：=，即 =，BD2=；则D2（，0），则 PD2=；故PBD外接圆半径 r2=；综上，有两组解分别是：P（2，1），D1（4，0），r1=；P（2，1），D2（，0），r2=（3）若AEB为直角，那么点E在以AB为直径的Q上，那么点E为直线l与Q的交点（如右图）；取与直线l平行，且与Q相切的直线l、l，如右图，设切点分别为M、N；直线l直线l直线l，且它们的斜率k=1，MKQ=NQL=45RtKMQ中，QM=AB=1，MKQ=45，则 KQ=，同理可得 QL=；K（2，0）、L（2+，0）；若直线l与Q始终有两个交点，那么直线l必在直线l、l之间，由于直线l与x轴交点为（t，0），有：2t2+，即 2t2+；而AEB是直角，那么点A与点E以及点B与点E都不重合，即直线l不经过点A、B，所以，t1，且t3；综上，t的取值范围：2t2+，且t1、t3（4）设点F（x，x2+4x+3），若AFC=90，那么点F在y轴左侧；当点F在x轴下方时，过点F作FGx轴于G，FHy轴于H，如图；OG=FH=x，FG=OH=（x2+4x+3），AG=OAOG=3（x）=3+x，CH=OC+OH=3（x2+4x+3）=（x2+4x）；FAC+ACF=90，即CAG+FAG+ACF=90，又CAG=45，FAG+ACF=45；ACO=ACF+FCH=45，FAG=FCH；又AGF=CHF，AFGCFH，得：=，即 =，解得：x1=、x2=（舍）；则F（，）；当点F在x轴上方时，如图；同求得 F（，）综上，点F的坐标为：（，）或（，）点评：此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，主要涉及了：函数解析式的确定、三角形外接圆半径的求法、圆周角、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质等重点知识；第三题中，由直角联想到圆是打开思路的关键；第二、四小题涉及到多种情况，应通过图形将各种情况分别列出进行分类讨论，以免出现漏解的情况5（2001哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，ABC的外接圆的圆心为点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的BEF和ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题1082614专题：压轴题分析：（1）根据题意即可得出A、B、C三点的坐标，可通过待定系数法求出抛物线的解析式（2）本题的关键是求出M点的坐标，可如果设圆M与y轴的另一交点为D，那么可根据相交弦定理求出OD的长，进而可求出M点的纵坐标，同理可求出M的横坐标，得出M的坐标后可用待定系数法求出直线MA的解析式（3）本题要分情况进行讨论：当EFCA时，ABCEBF，可根据两直线平行得出直线EF的斜率与直线AC的相同，然后根据直线EF过M点，即可求出直线EF的解析式，然后联立抛物线即可求出它们的交点P的坐标当BFE=A时，ABCFBE，思路同，可通过构建相似三角形来求E点的坐标以得出直线EF的解析式可过A作AGBC于G，过M作MHAB于H，那么通过相似三角形AGC和MHE可求出E点的坐标，然后同的方法进行求解即可解答：解：（1）由题意可知：A（1，0），B（3，0），C（0，3）可得抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）设y轴于圆M的另一交点为D，根据相交弦定理可得出OD=OAOBOC=1由此可求得M点的纵坐标为1同理可求出M点的横坐标为1M的坐标为（1，1）设过A、M点的直线解析式为y=kx+b，有k+b=1，k+b=0k=，b=直线解析式为：y=x+（3）在（1）中的抛物线上存在点P使BEF与ABC相似若BEFABC，则EFAC直线AC为：y=3x+3设直线EF为：y=3x+b1过m（1，1）直线EF为：y=3x2点P的坐标满足y=3x2，y=x2+2x+3解之x1=+，x2=y1=+，y2=所以P1（+，+），P2（，）若BEFABC，则ACG=MEH过点A作AGBC于G，有AGC=MEHACGMEH其中AC=，CG=，AG=2，MH=1AG：CG=MH：HE，即2：=1：HEHE=，E的坐标为（，0）直线EM解析式为：y=2x1同理可得：P3（2，3），P4（2，5）综上所述：P1（+，+），P2（，），P3（2，3），P4（2，5）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法6如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点B（1，0）、C（3，0），且过点A（3，6）（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连接CP、PB、BQ，试求四边形PBQC的面积（3）在x轴上找一点M，使以点B、P、M为顶点的三角形与ABC相似，求点M的坐标考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定1082614分析：（1）利用待定系数法直接将点B（1，0）、C（3，0）、A（3，6）的坐标代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式，设出直线AC的解析式，将A、C的坐标代入就可以了（2）根据抛物线的解析式求出对称轴，再求出Q点的坐标，再用SBCQ+SBCP就可以求出四边形PBQC的面积（3）根据两点间的距离公式求出AC、BC和AB的值分3种情况，当ABCMPB，ABCPMB，由相似三角形的性质可以求出对应的M的坐标解答：解：（1）点B（1，0）、C（3，0）、A（3，6）在物线y=ax2+bx+c上，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，直线AC的解析式是：y=x+3（2）抛物线的解析式为：y=x2+xy=（x+1）22对称轴x=1，P（1，2）y=1+3=2，Q（1，2）B（1，0）、C（3，0），BC=4，S四边形CPDQ=SBCQ+SBCP=+=8（3）B（1，0）、C（3，0）、A（3，6）、P（1，2），由两点间的距离公式，得AC=6，AB=2，BC=4，BP=2当ABCM1PB时，BM1=6M1（5，0），当ABCPM2B时，M2B=，M2（，0）M（5，0）或（，0）点评：本题试一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，四边形的面积公式及相似三角形的判定及性质7如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4OA，ABC的面积为40（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C，求点P的坐标考点：二次函数综合题1082614专题：综合题分析：（1）求A、B、C三点的坐标，可以根据ABC的面积为40，设A（k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k0，得到关于k的方程，从而得出；（2）代入法求出抛物线的解析式；（3）代入法先求出直线BC的解析式，由切线的性质知PCBC，延长PC交x轴于点Q，求出Q点的坐标，进而得到直线PQ的解析式，结合抛物线的解析式求得满足条件的点P的坐标为（4，12）解答：解：（1）由题意设A（k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k0，AB=5k，由SABC=5k4k=40，得k=2A（2，0）、B（8，0）、C（0，8）（2）设抛物线y=a（x+2）（x8），把（0，8）代入，得a=y=（x+2）（x8）即y=x2+3x+8（3）易得直线BC为y=x+8由P切BC于C，知PCBC，延长PC交x轴于点Q，则OQ=OC=OB=8，故得Q（8，0），进而，直线PQ的解析式为y=x+8解方程组由于点（0，8）即为点C，不合题意，舍去所以，满足条件的点P的坐标为（4，12）点评：本题结合三角形的面积考查二次函数的综合应用，着重考查了代入法求函数解析式，以及解方程求交点坐标8如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，）连接AC、BC（1）则抛物线的对称轴为直线x=1；抛物线的解析式为；（2）若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及点P坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出F点坐标考点：二次函数综合题1082614分析：（1）A、B是对称点，据此即可求出函数的对称轴，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）易证四边形BMPN是菱形，则PN平行MB（即x轴），可以得到CPNCAB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值，以及P的坐标；（3）当AE=AC时，可以求得AC的长，设抛物线的对称轴与x轴的交点是H，设出F的纵坐标，在直角AMH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐标；当CF=CA时，作CG对称轴与点G，设出F的纵坐标，在直角AGH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐标；当FA=FC时，F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，据此即可求得解答：解：（1）（每空（2分），共4分）对称轴为x=1；设抛物线的解析式是y=a（x+3）（x1），代入C的解析式得：a3（1）=，则a=，则抛物线的解析式为，或是（2）如图1，M、N点的运动速度相同，BM=BN=t，又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t，四边形BMPN是菱形，PN平行MB（即x轴），CPNCAB，易得AB=4，BC=2，解得，NB=，CN=，代入可解得，P（3）（前2种情况各（2分），最后一种（1分），共5分）设E点坐标为（1，a）如图2，当AF=AC时，AC=，AF=，EF=，F1（1，2），F2（1，2）；如图3，当CE=CA时，CF=，易得CG=1，FG=，EF=，F3（1，），F4（1，+）；如图4，当FA=FC时，F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，则PF5=2PH=2（CHCP）=，而PF=OD=，所以F5与E点重合，坐标为（1，0）点评：本题考查了二次函数与等腰三角形的综合应用题，正确进行讨论是关键9如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（1，5），与y轴相交于点D，直线y=kx+m与抛物线相交于B、C两点，与y轴相交于点E（1）求抛物线的解析式（2）求tanDCB的值（3）若点P在直线BC上，该抛物线上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由考点：二次函数综合题1082614专题：计算题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式（2）首先由B、C的坐标求出直线BC的解析式以及CBO的度数，然后分别过C作y轴的垂线、过D作直线BC的垂线，通过构建的两个直角三角形，求出与tanDCB相关的两条直角边，由此得解（3）此题的情况较为复杂，但由于AB位于x轴上，所以总体上可分作两种情况：以AB为对角线，那么先找出AB的中点，由直线BC的解析式表示出点P的坐标，然后根据平行四边形的对称中心是两条对角线的交点（即AB的中点）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求出符合条件的P点坐标；以AB为边，那么PQ必与AB平行，及P、Q两点的纵坐标相同，首先表示出P点坐标，然后根据AB的长（PQ=AB）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x4），代入点C坐标后，得：a（11）（14）=5，解得 a=抛物线的解析式：y=（x1）（x4）=x2x+2（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得直线BC：y=x+4，则 E（0，4）过C作CFy轴于F，过D作DGBC于G，如右图；在RtOBE中，OB=OE=4，所以OBE=OEB=CEF=45；在RtCEF中，CEF=45，则 CF=EF=1，CE=；在RtDEG中，DEG=45，DE=42=2，EG=DG=；在RtCDG中，CG=CE+EG=2，DG=，所以 tanDCB=（3）假设存在符合条件的P、Q点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：以AB为对角线，则P、Q关于AB的中点对称，取AB的中点（2.5，0），设点P（x，x+4），则Q（5x，x4）；由于点Q在抛物线的图象上，依题意有：（5x）2（5x）+2=x4解得：x1=3、x2=4（舍去）P1（3，1）；以AB为边，那么PQAB（即P、Q点的纵坐标相同）且PQ=AB=3，设P（x，x+4），则Q（x+3，x+4）或（x3，x+4）；将点Q的坐标代入抛物线的解析式中，依题意有：当Q（x+3，x+4）时，（x+3）2（x+3）+2=x+4，解得：x1=2，x2=5；P2（2，2）、P3（5，9）；当Q（x3，x+4）时，（x3）2（x3）+2=x+4，解得：x1=4（舍），x2=5；P4（5，1）综上，存在符合条件的P点，且坐标为：P（3，1）、（2，2）、（5，9）、（5，1）点评：该题考查的内容并不复杂，主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形以及平行四边形的判定和性质；但最后一题需要考虑的情况较多，能够根据平行四边形的性质准确找出P、Q点坐标间的关系，是突破此题的关键所在10如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为1（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；（3）如图，在抛物线上是否存在点C，使ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理1082614专题：计算题分析：（1）求出B、D、A的坐标，把D的坐标代入y=a（x0）（x3）求出a即可；（2）设H（x，0），得出P（x，x+3），Q（x，x23x），求出PH和QH，根据三角形的面积得出=和=2，代入求出即可；（3）分为三种情况：若BAC=90，设C（x，x23x），tanOAC=1，代入求出即可；若ABC=90时，得出求出直线BC的解析式，和抛物线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；若ACB=90时，设C（n，k），根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，代入得到（n3）2+k2+n2+（k3）2=18，求出即可解答：（1）解：y=x+3，当x=0时，y=3，B（0，3），把x=1代入y=x+3得：y=4，D（1，4），当y=0时，0=x+3，x=3，A（3，0），抛物线过A（3，0），O（0，0），把D（1，4）代入y=ax2+bx+c=a（x0）（x3）得：4=a（10）（13），a=1，y=（x0）（x3），即抛物线的解析式是y=x23x（2）解：设H（x，0），则P（x，x+3），Q（x，x23x），PH=x+3，QH=3xx2，x轴把POQ分成两部分的面积之比为1：2，=或=2，即=或=2，解得：x1=2，x2=3（舍去），x3=3（舍去），x4=，H点的坐标是（2，0）或（，0）（3）解：分为三种情况：若BAC=90，设C（x，x23x），AOB是等腰直角三角形，BAO=45，OAC=45，tanOAC=1，=1，解得：x1=1，x2=3（舍去），C（1，2）；若ABC=90时，OBA=45，OBC=45，设直线BC交于x轴于E，其解析式是y=kx+3，OE=OB=3，E（3，0），代入得：0=3k+3，k=1，y=k+3，解方程组得：，C（2+，5）或（2，5）；若ACB=90时，设C（n，k），AC2+BC2=AB2，即（n3）2+k2+n2+（k3）2=18，n23n+k23k=0，k=n23n，代入求出k1=0，k2=2，n23n=0，n23n=2，解得：n1=0，n2=3（舍去），n3=，n4=，C（0，0）或（，2）或（，2），综合上述：存在，点C的坐标是（1，2）或（2+，5+）或（2，5）或（0，0）或（，2）或（，2）点评：本题考查了三角形的面积，勾股定理，用待定系数法求出二次函数的解析式，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，本题难度偏大，对学生有较高的要求，分类讨论思想的运用11如图，已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B（1）求出y=mx2+nx+p的解析