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第二章 矩阵习题一 矩阵的概念一、 一、填空题1在矩阵中，所有元素都为零，则称该矩阵为 ，它的秩等于 .2数域上两个矩阵相等的条件是 ， .二、比较阶矩阵与阶行列式的区别与联系.三、试确定的值，使得=.习题二 矩阵的运算一、 一、填空题1设是矩阵，若有矩阵，使，则是_ _阶矩阵，是_ _阶矩阵.2设，当与满足条件_ _时，.3设是矩阵，若，则_，_，_.4设，是正整数，若, 则_ _.5设，而为正整数，则_ _.二、选择题 1若都是阶矩阵，则 .(A) ； (B) ； (C) ；(D) 不确定.2设，则.(A) ； (B) ； (C) ； (D) 不确定.3设是阶方阵，则下列命题中_ 成立.(A)若, 则； (B) 若则；(C)若则或； (D) 若, 则.4设是阶实方阵,若，则.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .三、计算题1设，求.2已知，求：(1) ； (2).比较（）与（）的结果，可得出什么结论.3设，求与相乘可交换的矩阵.四、证明题1设是阶方阵，若对于任意的矩阵，使，则.2若矩阵与可交换，则的任一多项式也与可交换.习题三 可逆矩阵一、填空题1设A=，则A-1=_2设矩阵A=，E=，则逆矩阵(A-2E)-1=_3设A、B均为n阶可逆矩阵，则(AB)2=A2B2的充要条件是_4设是阶方阵，且，则 .5设，则 .二、选择题1设均为阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 2若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是( )(a) (2A)-1=2A-1 (b) AA*0(c) (A*)-1= (d) (A-1)T-1=(AT)-1T3设均为阶方阵，且，则有 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) .4设，均为阶可逆矩阵，则等于 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) .5设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=( )(a) A-1+B-1 (b) A+B(c) B(A+B)-1A (d) (A+B)-1.三、计算题1A=，B=设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-12设A是三阶方阵，|A|=，试求|3(A)-1-2A*|的值四、证明题1设矩阵可逆，求证伴随矩阵可逆.2设A为n阶方阵，证明(A*)*=|A|n-2A.3设A为n阶可逆矩阵，且A2=|A|E，证明A的伴随矩阵A*=A.习题四 矩阵的分块一、填空题1两个同阶矩阵分块相加时，分块方法必须 .2两个矩阵和进行分块相乘时，必须满足 .3设分块矩阵，其中均为二阶方阵，是二阶零矩阵，若，则 .4设()是三阶方阵的分块矩阵，若=3，则= .5设与是两个阶可逆矩阵，则由，可推得 ，= .二、选择题1关于矩阵和的乘积的秩的判断正确的为 .(A) 秩秩秩； (B) 秩秩秩；(C) 秩； (D) 秩.2设，则= .(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .3设是34型矩阵，是43型矩阵，则下列结论中不正确的是 .(A)； (B)有意义； （C）秩秩3； （D）秩3.三、计算题1设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=，Q=，其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵(1) 计算并简化PQ；(2) 证明：矩阵Q可逆的充要条件是aTA-1ab2利用分块方法求矩阵的逆矩阵.四、证明题1设均为阶矩阵，试证：若, 则.2设都是阶矩阵，其中，并且,证明：.习题五 初等矩阵一、填空题1初等矩阵的逆矩阵仍是 .2设对5阶矩阵施行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵分别是 .3已知，满足, 则 .4设是阶矩阵，是阶可逆矩阵，若的每一列都是方程组的解，则 .二、选择题1以初等矩阵左乘初等矩阵相当于对矩阵施行( )的初等变换.(A) ； (B) ；(C) ； (D) 2设均为12分块矩阵，其中均为阶方阵，是阶单位矩阵，若，则应满足关系式 .(A)； (B) ； (C) ； (D) .3设，则 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) .三、计算题1用初等变换求的逆矩阵.2设，求解矩阵方程 .3将矩阵表示成若干个初等矩阵的乘积.四、证明题1若阶矩阵满足, 试证可逆，并求出 .2设和都是阶矩阵，证明：若，则和互为逆矩阵.习题六 几种常用的初等矩阵一、分析判断题（判断下列命题是否正确，并简述理由）1对角矩阵与任意同阶方阵的乘积是可交换的.2上三角矩阵可逆时，其逆矩阵不一定是上三角矩阵.3两个对称矩阵的乘积仍是对称矩阵.4可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵.5偶数阶反对称矩阵一定是可逆矩阵.6两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵.7任意一个阶方阵都可以表示为一个阶对称矩阵与一个阶反对称矩阵之和.8设均为阶方阵，则互为逆矩阵的充要条件是.二、证明题1试证：对任意一个方阵，都有是对称矩阵，是反对称矩阵.2证明：奇数阶的反对称矩阵的行列式等于零.3试证：设与都是阶对称矩阵，则为对称矩阵的充要条件是：.综合复习题一、 一、选择题1.以下结论中正确的是( )(a) 若方阵A的行列式|A|=0，则A=0(b) 若A2=0，则A=0(c) 若A为对称矩阵，则A2也是对称矩阵(d) 对任意的同阶方阵A，B有 (A+B)(A-B)=A2-B22.两个同阶反对称矩阵的乘积( )(a) 仍为反对称矩阵(b) 不是反对称矩阵(c) 不一定是反对称矩阵(d) 是对称矩阵3.若A为反对称矩阵，则An( )(a) 不是反对称矩阵，就是对称矩阵，二者必具其一(b) 必为反对称矩阵(c) 必为对称矩阵(d) 既不是反对称矩阵，又不是对称矩阵4.设n阶矩阵A，B，C，满足ABC=E，则必有( )(a) ACB=E (b) CBA=E(c) BAC=E (d) BCA=E5.设A，B均为n阶方阵，则必有( )(a) |A+B|=|A|+|B|(b) AB=BA(c) |AB|=|BA|(d) (A+B)-1=A-1+B-16.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则( )(a) |A*|=|A| (b) |A*|=|A|n-1(c) |A*|=|A|n (d) |A*|=|A-1|7.设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=( )(a) A-1+B-1 (b) A+B(c) B(A+B)-1A (d) (A+B)-18.设n阶矩阵A为A=则|A|=( )(a) -1 (b) (-1)n (c) (d) 9.设A，B为n阶方阵，且AB=0，则必有( )(a) 若r(A)=n，则B=0(b) 若A0，则B=0(c) 或者A=0，或者B=0(d) |A|+|B|=010.若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是( )(2) (2A)-1=2A-1 (b) AA*0(c) (A*)-1= (d) (A-1)T-1=(AT)-1T二、设，求及.三、判断矩阵是否可逆，若可逆，用分块矩阵的方法求.四、设4阶矩阵B=，C=满足关系式A(E-C-1B)TCT=E，求A五、设三阶矩阵B0，且B中每个列向量都是下列方程组的解(1) 求l的值(2) 证明|B|=0六、设，求.七、设分块矩阵，其中均为三阶方阵，是三阶零矩阵，且，（1）求 的伴随矩阵；（2）求；（3）求.八、设为三阶方阵，将按行分块，其三个行向量依次为，即，求行列式.九、设是一个阶实矩阵，且的每一元素都等于它的代数余子式，试证：秩（）. 十、设为二阶实矩阵，则与任意二阶实矩阵可交换的充要条件是.十一、设是阶方阵，是的伴随矩阵，则可逆的充要条件是.十二、设是一个阶上三角矩阵，若可逆，则也是一个上三角矩阵.十三、设阶矩阵满足，且，证明：.十四、设，试证明的充要条件是：对任意维向量都有.十五、设, 均为阶可逆矩阵,试证明：.十六、设为阶可逆矩阵，且，试证明的伴随矩阵.自测题一、 一、填空题1设为三阶方阵，且，则 .2 已知（1，2，3），（1，），设，其中是的转置, 则= .3 设，则= .4 设四阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 .5 设，其中，则 .6 若，则 .二、 二、选择题1 设均为阶非零矩阵，且，则 .(A)必有一个等于零； (B)都小于； (C)一个小于，一个等于； (D)都等于.2 设均为阶方阵，则下列结论正确的是 .（A）若均可逆，则可逆； (B) 若均可逆，则可逆； (C) 若可逆，则可逆； (D) 若可逆，则均可逆.3 设为阶方阵，运算 正确.(A) ; (B) ; (C) ; (D) 若可逆,，则.4 设为阶方阵，且，则必有 .(A)的秩为； (B)的秩为零；(C)的秩和的秩之和为； (D) 的秩和的秩相同.5 设都是阶可逆阵，则 .(A) ; (B) ; (C) ; (D) .6 设是矩阵，是阶可逆阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则 .(A); (B); (C) ; (D) 的关系依而定.7 设是阶可逆矩阵，是的伴随矩阵， 则 .(A); (B) ; (C) ;