亚克力平板的受力凹陷及解决方法.doc

亚克力平板的受力凹陷及解决方法一、受力分析概况1、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。图(1 )t/b1/5时,为薄板;w/t1/5时,为小挠度;按小挠度薄板计算(w为薄板在垂直于中面的变形量);2、载荷与内力 载荷：平面载荷：作用于板中面内的载荷横向载荷：垂直于板中面的载荷复合载荷：包含上述两项载荷的合成;内力：薄膜力中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形;弯曲内力弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形;当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。现仅讨论弹性薄板的小挠度理论。3、弹性薄板的小挠度理论基本假设: 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线的挠度;只有横向力载荷。变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题二、 圆平板对称弯曲微分方程分析模型图(2 )分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、z圆柱坐标系中，有内力Mr、M、Qr 三个内力分量;轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、z圆柱坐标系中，挠度只是 r 的函数，而与无关。微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为d的两个径向截面截取板上一微元体。图(3 )如下:微元体内力 ：径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：M横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr微元体外力 ：上表面图(4 )1、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即MT=0 （2-1）（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）图(5 )如下:2、几何协调方程(W)取，径向截面上与中面相距为z，半径为r与两点A与B构成的微段图(6 )板变形后：微段的径向应变为 （第2假设）过A点的周向应变为（第1假设）作为小挠度，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程： （2-2）3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为： （2-3）4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-2)代入(2-3)式： （2-4）通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩和表示成的形式。由式（2-4）可见，和沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图(7)中所示为径向应力的分布图。图(7) 圆平板内的应力与内力之间的关系、的线性分布力系便组成弯矩、。单位长度上的径向弯矩为： （2-5a）同理 （2-5b） “抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,将(2-5)代入(2-4)，得弯矩和应力的关系式为： （2-6）(2-5)代入平衡方程(2-1)，得：即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程： （2-7）Qr值可依不同载荷情况用静力法求得三、 圆平板中的应力承受均布载荷时圆平板中的应力：简支;固支;承受集中载荷时圆平板中的应力图(8)均布载荷作用时圆板内Qr的确定一、承受均布载荷时圆平板中的应力据图(8)，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率： （2-8）对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。 （2-9）C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0 ，于是上述方程改写为： （2-10）式中C1、C3由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)周边固支圆平板周边简支圆平板周边固支圆平板 周边简支圆平板图(9) 承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）图(10)周边固支圆平板将上述边界条件代入式（2-10），解得积分常数：代入式（2-10）得周边固支平板的斜率和挠度方程： （2-11）将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-5），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式： （2-12）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式(Z=t/2)： （2-13）周边固支圆平板下表面的应力分布，如图 (11)所示。 图(11) 圆板的弯曲应力分布（板下表面）最大应力在板边缘上下表面，即2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-10），解得积分常数C1、C3：代入式（2-10）得周边简支平板的挠度方程： （2-14）图(12) 周边简支圆平板弯矩表达式： （2-15）应力表达式： （2-16）可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处，周边简支板下表面的应力分布曲线见图 (11b)。3、比较两种支承a. 边界条件周边固支时:周边简支时:b. 挠度周边固支时，最大挠度在板中心 （2-17）我们知道：亚克力板的弹性模量E=3.06GPa,=0.32,=1.19g/cm3,当R=500mm时：(1): t=3mm,D=767.13kg.mm, Wmax(f)=4.54mm(2): t=4mm,D=1818.38kg.mm,Wmax(f)=2.56mm(3): t=5mm,D=3551.5kg. mm,Wmax(f)=1.64mm周边简支时，最大挠度在板中心 （2-18）=0.32, Wmax(s)/ Wmax(f)=5+/1+=4.03(1): t=3mm,Wmax(s)=4.54x4.03=18.3mm(2): t=4mm,Wmax(s)=2.56x4.03=10.3mm(3): t=5mm,Wmax(s)=1.64x4.03=6.6mm而当R=1000mm时：(1): t=3mm,Wmax(f)=72.7mm, Wmax(s)=72.7x4.03=293mm;(2): t=4mm,Wmax(f)=40.9mm, Wmax(s)=40.9x4.03=164.8mm;(3): t=5mm,Wmax(f)=26.2mm, Wmax(s)=26.2x4.03=105.6mm;表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 尽量采用周边固支板。c. 应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为 （2-19）周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为 （2-20）表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。内力引起的切应力：在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力（处），近似采用矩形截面梁中最大切应力公式，得到最大正应力与同一量级；最大切应力则与同一量级。因而对于薄板Rt，板内的正应力远比切应力大。从以上可以看出：与圆平