微分方程数值解理论大纲.doc

成都信息工程学院精品课程微分方程数值解微分方程数值解教学大纲一、课程性质、地位和作用微分方程数值解是信息与计算科学专业的一门重要专业方向课，属核心必修课。本课程既有纯数学的严密性、逻辑性，又有数值计算的科学性。在数值分析中占有极其重要的地位。通过本课程的学习，可以培养学生的理论分析能力和对前沿与未来的科学计算能力以及解决实际问题的能力。二、课程教学对象、目的和要求本课程适用于信息与计算科学本科专业。课程教学目的、要求：（一）从内容上，应使学生熟练掌握求解常微分方程的欧拉法、改进的欧拉法和标准四阶龙格-库塔法；熟练掌握求解抛物型方程的六点加权隐式差分格式；熟练掌握求解Laplace方程和Poisson方程的五点差分格式；熟练掌握求解一阶双曲型方程的特征线法和求解双曲型方程的差分方法等内容。（二）从能力方面，应使学生初步认识如何从实际问题出发，建立微分方程数学模型，将连续问题离散化，由微分方程转化为差分方程，利用计算机实现数值方法求解一个微分方程的定解问题，并对结果给以几何解释。（三）从教学方法上，着重体现思维方式，注重解决实际问题的方法以及利用计算机进行科学计算的能力培养。三、相关课程及关系本课程的先修课程包括“数学分析”、“高等代数”、“复变函数”、“常微分方程”、“数理方程”等，本课程的学习应在学生掌握一定的微积分、线性方程组理论解以及常微分方程、偏微分方程解析解的基础上进行。四、课程内容及学时分配总学时：56学时（理论44学时，上机6学时，实验6学时）（一） 常微分方程初值问题的数值解法 （10学时）1、欧拉法2、一般单步法、龙格-库塔格式3、线性多步法要求学生初步认识与掌握将常微分方程初值问题的自变量取值区间等分，在结点处求数值解的方法。重点掌握欧拉方法，改进的欧拉方法以及龙格-库塔方法。了解阿达姆斯内插、外推方法，了解高阶常微分方程组的数值解法。（二）抛物型方程的差分方法（10学时）1、 差分格式建立的基础2、 显式差分格式3、 隐式差分格式4、 解三对角型方程组的追赶法5、 差分格式的稳定性和收敛性 要求学生深刻理解：差商、差分格式稳定性、收敛性、相容性等基本概念。掌握差商代替微商的思想方法。重点掌握求解一维常系数热传导方程的古典显式格式，古典隐式格式，Crank-Nicolson隐式格式，加权六点隐式格式等方法。了解求三对角方程组的追赶法。掌握判断差分格式稳定性的矩阵方法、圆盘定理以及Fourier级数法。 （三） 椭圆型方程的差分方法（12学时）1、 正方形域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟2、 Neumann边值问题的差分模拟3、 混合边值条件4、 非矩形区域5、 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析6、 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究7、 椭圆型差分方程的迭代解法要求学生掌重点握矩形域中的Laplace方程、Poisson方程Dirichlet边值问题的五点差分格式，了解Neumann边值问题的差分思想，理解一般二阶线性椭圆型方程的Jacobi迭代、Cass-Seidel迭代和超松弛迭代等方法。会求收敛速度，会判断超松弛迭代法的收敛性。（四） 双曲型方程的差分方法（10学时）1、 一阶线性双曲型方程的特征线法2、 一阶拟线性双曲型方程的特征线法3、 一阶双曲型方程的差分方法4、 二阶线性双曲型方程的差分方法要求学生重点掌握一阶线性双曲型方程Cauchy问题的特征线法和差分方法。理解特征方向、特征关系等基本概念。掌握一阶拟线性双曲型方程Cauchy问题的特征线法，特征差分格式等方法。了解一阶拟线性双曲型方程组的特征线法。重点掌握二阶线性双曲型方程的显式差分格式。（五） 有限元方法简介（2学时）了解有限元方法，初步会用MATLAB工具箱求解偏微分方程。五、实验教学环节 上机6学时，实验6学时。六、作业（习题）要求要求每章节结束后布置相应的作业，作业量以中等程度学生在一小时左右完成为宜。七、考核本科课程采用闭卷考试，内容包括教学大纲所列全部内容，以大纲所列重点为主。八、教材与主要参考