牛顿法上机实验.doc

设计性实验报告课程名称: 最优化 实验名称: 牛顿法 实验地点: 指导老师: 实验时间: 提交时间: 班级: 姓 名: 座号: 一、实验目的和要求 1 掌握非线性方程的极小点基本求解算法；2 通过实例掌握用MATLAB或C语言求非线性方程的极小点方法；3 编程实现2种或以上算法并进行比较掌握牛顿法原理，并能够用程序实现二、实验环境、内容和方法1写出非线性方程的极小点基本求解算法的程序框架2.用C语言或matlab编写实现所设计算法3. 构造一个非线性方程，用所设计的程序实现，比较各个算法的迭代速度，求解的精度，运行的时间。另改变初值，分析初值对解的影响。4. 可采用二分法，Newton迭代，黄金分割法。编制程序，用牛顿迭代法、二分法、黄金分割法三种不同的方法求解函数 的最优解。 求解区间为 -8,8解法一：二分法在C+ 软件中输入如下程序：#includeusing namespace std;double f(double x)return x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4;int main()double left=-8;double right=8;double mid;while(right-left)0.005)mid=(left+right)/2;if(f(mid)=0)break;if(f(mid)*f(left)0)left=mid;elseright=mid;coutmidendl; system(pause);return 0;运行程序的结果为：我们知道，在极小点处，并且当时，函数时递减的，即；而当时，函数递增，即。如果找到一个区间，具有性质，则在之间必有的极小点，并且。 为了找到，我们取，若，则在区间中有极小点。这时以作为新的区间；若，则在中有极小点，因此以作为新的区间。继续这个过程，逐步将区间换小，当区间充分小时，即可取到极小点的近似。解法二：牛顿迭代法在C+ 软件中输入如下程序：#include #include #define eps 0.01 double fun(double x) return x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4; double diff_fun(double x) return 4*x*x*x-12*x*x-12*x-16; double diff_2_fun(double x) return 12*x*x-24*x-12;double diff_3_fun(double x) return 24*x-24; double newton(double a,double b) double result = (a+b)/2; double t = 0.0; while(true) t = result - (diff_fun(result)/diff_2_fun(result); if(fabs(t-result) eps) return result; else result =t; int main() double a =0.0; double b =6.0; double x= newton(a,b); cout求解的结果是 x = xendl; cout此时f(x) = fun(x)endl; return 0; 输出程序得到方程的最优解为： 当输入初值为,当=-156时，求出此时方程的根为=4.00066。我们知道输入不同的初值，在不同的迭代次数得到方程的解是不一样的。由于牛顿法是一种函数逼近法，它的基本思想是，在迭代点附近用二阶泰勒多项式近似目标函数，进而求出极小点的估计值。在一定条件下，这个点列收敛于最优解且具有二阶收敛速度。 运用牛顿法时，初值点的选择显得十分重要。如果初始点靠近极小点，则收敛可能很快；如果收敛点原理极小点，则迭代产生的点列还有可能不收敛于极小点。解法三：黄金分割法在C+软件中输入如下程序：#include #include double f(double x);/函数声明/主函数void main() double a=-8,b=8,e=0.01; double x1=0,x2=0,x3=0,f1=0,f2=0,f3=0; x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); f1=f(x1); /调用f函数 f2=f(x2); /调用f函数/在没有达到误差限情况下就循环 while(fabs(a-b)=e) if(fabs(f1-0)fabs(f2-0) b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=a+0.382*(b-a);f1=x1*x1*x1*x1-4*x1*x1*x1-6*x1*x1-16*x1+4; else a=x1; x1=x2; f1=f2; x2=a+0.618*(b-a); f2=x2*x2*x2*x2-4*x2*x2*x2-6*x2*x2-16*x2+4; x3=(a+b)/2;f3=f(x3); cout方程为：f(x)=x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4endl; coutendl; cout误差限为：e=0.01endl; coutendl; cout方程的根为: x=x3endl; coutendl; cout方程的值为：f=f3endl; coutendl;/定义函数double f(double x) double y; y=x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4; return y;结果如下图所示： 0.618法适用于单峰函数，即在所论区间a,b上，函数只有一个极小值点 在极小值得左边，函数单调下降；在极小值得右边，函数单调上升。但在实际问题中，目标函数在其定义域内不一定是单峰的，因此需要先确定单峰区间，然后再使用0.618法的计算公式。在现有的0.168法的程序中，