平面向量坐标运算

平面向量坐标运算平面向量坐标运算 教材分析 本课是在平面向量坐标运算 内积定义基础上学习的 主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两 点间的距离公式 是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据 是进一步学习相关数学知识的重要基础 教学目标 1 掌握平面向量内积的坐标表示 会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度 两向量的夹角和垂直的问题 2 能够根据平面向量的坐标 判断两向量是否垂直 求两向量的夹角等 3 通过学习平面向量的坐标表示 使学生进一步了解数学知识的相同性 培养学生辩证思维能力 提高学生数学知识 的应用能力 教学重点 平面向量内积的坐标公式式 平面向量垂直的充要条件 平面内两点间距离公式的应用 教学难点 平面向量内积的坐标公式的推导和应用 教学方法 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法 教学过程 环节教学内容师生互动设计意图 复 习 导 入 前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来 回忆下这些知识 1 在平面直角坐标系中 是基向量 他 21 e e 们的坐标如何表示 任意向量的坐标如何表示 的坐aaba 标如何表示 2 上节课我们学习了向量的内积 是怎么定义的呢 ab ba cos 3 有哪些重要性质 ae a b a ab 4 4 满足哪些运算律 1 交换律 abba 2 结合律 ababab 教师提出问题 学生回忆解答 师 生共同回忆旧知识 师 对平面向量的 内积的研究不能仅仅停 留在几何角度 还要寻 求其坐标表示 引出探 究问题 为知识迁 移做准备 精品文档 57欢迎下载 3 分配律 abcacbc 5 那么如何用坐标来表示 呢 呢 ab 新 课 知 识 讲 解 例 已知 是直角坐标平面上的基向量 如果 a1 a2 1 e 2 ea b1 b2 你能推导出 的坐标公式吗 bab 探究过程 a1 a2 b1 b2 ab 1 e 2 e 1 e 2 e a1b1 a1b2 a2b1 a2b2 1 e 1 e 1 e 2 e 1 e 2 e 2 e 2 e 又因为 1 1 0 1 e 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 所以 a1b1 a2b2 ab 定理 在直角坐标平面 xoy 中 如果 a1 a2 b1 b2 则ab a1b1 a2b2 ab 即 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和 因此可以推出两向量垂直的充要条件为 a1 b1 a2 b2 0 ab 问题 1 若已知 a1 a2 你能用上面的定理求出 吗 aa 解 因为 2 a1 a2 a1 a2 aaa a12 a22 所以 a a12 a22 这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式 因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为 cos ab 学生讨论并回答 教师再提出的下列问题 1 a1 a2 b1 1 e 2 e 1 e b2 是怎样进行运 2 e 算的 2 1 e 1 e 2 e 2 e 的内积是怎 1 e 2 e 样计算的 教师给出向量内积 的直角坐标运算公 式 并引导学生用文字 叙述 在教师的引导下学 生讨论得出 教师提出问题 稍 加点拨 学生讨论解答 教师总结得出这就 是根据向量的坐标求向 量长度的计算公式 教师例题分析讲解 学生边学边用 问题为复 习向量的线性 运算和向量的 内积而设 计 通过学生 的探究给出结 论 比直接给 出更符合学生 的特点 容易 被学生接 受 通过结论 的探究 让学 生初步感受到 无论是向量的 线性运算还是 向量的内积运 算 最终都归 结为直角坐标 运算 从而归纳总结 出公式及数学 规律 精品文档 58欢迎下载 题 讲 解 练 习 巩 固 例 题 讲 解 练 例 1 设 3 1 1 2 求 ab 1 2 aba 3 4 bab 解 1 3 1 1 2 3 2 5 ab 2 a 32 1 210 3 b 12 2 25 4 因为 cos ab ba ba 因为 0 所以 ab ab 4 配套学生练习 已知 0 2 2 2 求 ab3 1 2 aba 3 4 bab 问题 2 若已知 A x1 y1 B x2 y2 如何求 AB 解 因为 A x1 y1 B x2 y2 所以 x2 x1 y2 y1 AB 所以 AB x2 x1 2 y2 y1 2 这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式 例 2 已知 A 2 4 B 2 3 求 AB 解 因为 A 2 4 B 2 3 所以 2 3 2 4 AB 4 7 所以 AB72 4 265 学生练习 已知 A 2 1 B 6 3 C 5 0 求 ABC 三边的 长 并判别 ABC 是否为等腰三角形 学生练习巩固所学 知识 教师提出问题 学生讨论解答 教师总结得出这就 是根据两点的坐标求两 点之间的距离公式 学生尝试解答 教 师针对学生的回答进行 点评 通过例 1 可让学生加深 对向量内积的 直角坐标运算 公式及向量的 长度公式的理 解和记忆 使刚刚学 过的知识及时 得到应用 让 学生在边学边 用中巩固知识 形成技能 采用问题 诱导式让学生 更易理解和接 受 通过例 2 可让学生加深 对平面内两点 间距离公式的 理解和记忆 习 巩 固 新 课 例 3 已知 A 1 2 B 2 3 C 2 5 求证 AB AC 证明 因为 2 1 3 2 1 1 AB 2 1 5 2 3 3 AC 可得 1 1 3 3 0 AB AC 所以 AB AC 练习 快速判别上面的练习中的 ABC 是否为等腰直角三角形 学生练习 巩固所 学知识 教师点拨 学生解 答 教师针对学生的回 答进行点评 学习新知 后紧跟练习 有利于帮助学 生更好的梳理 和总结本节所 学内容 有利 于教师检验学 生的掌握情 况 小小 结结 本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式 常见的题型主要有 1 直接用两向量的坐标计算平面向量的内积 2 根据向量的坐标求该向量的模 长度 3 根据两点坐标求这两点间的距离 4 运用平面向量的性质判定平面内两向量是否垂直 学生阅读课本 畅 谈本节课的收获 老师 引导梳理 总结本节课 主要的知识点 梳理总结 也可针对学生 薄弱或易错处 进行强调和总 结 作作 业业 教材 P56 练习 A 组第 1 题 教材 P57 练习 B 组第 1 题 选做 巩固拓展 设计理念 精品文档 60欢迎下载 数学学习是一个知识理解 迁移 转化的过程 因此要实现教学的有效性 必须知识点的迁移 转化 引