2008—数二真题、标准答案及解析.doc

精品文档2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（ ）0 1. 2 3（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则 （7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）. . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 已知函数连续，且，则.（10）微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为.（12）曲线的拐点坐标为_.（13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限.(16)（本题满分10分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求. (17)（本题满分9分）求积分 .(18)（本题满分11分）求二重积分其中(19)（本题满分11分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 (2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证；（2）为何值，方程组有唯一解，并求；（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关；（2）令，求.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点. 又中含有因子，故也是的零点， D正确.本题的难度值为0.719.(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积本题的难度值为0.829.(3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是本题的难度值为0.832.(4) 【答案】【详解】时无定义，故是函数的间断点因为 同理 又 所以 是可去间断点，是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存在极限.本题的难度值为0.537.(6)【答案】【详解】用极坐标得 所以 本题的难度值为0.638.(7) 【答案】【详解】，故均可逆本题的难度值为0.663.(8) 【答案】【详解】记，则，又所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.本题的难度值为0.759.二、填空题(9)【答案】2【详解】所以 本题的难度值为0.828.(10)【答案】【详解】微分方程可变形为所以 本题的难度值为0.617.(11)【答案】【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即本题的难度值为0.759.(12)【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐点为本题的难度值为0.501.(13)【答案】【详解】设，则所以 所以 本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】 本题的难度值为0.839.三、解答题(15)【详解】方法一：方法二： 本题的难度值为0.823.(16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即 所以 方法二：由得，积分并由条件得，即 所以 所以 本题的难度值为0.742.(17)【详解】方法一：由于，故是反常积分. 令，有， 方法二： 令，有，O 0.5 2 xD1D3 D2故，原式本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为O 0.5 2 xD1D3 D2本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知 上式两端对求导得 ， 即 由分离变量法解得 ， 即 将代入知，故，于是所求函数为 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即 由定积分性质，有 ，即 由连续函数介值定理，至少存在一点，使得 即 (II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使 又由 ，知 对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得 在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有 本题的难度值为0.719.(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数 令 解方程组得 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值 设 令 解得，代入，得 故所求的最大值为72，最小值为6.本题的难度值为0.486.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以 即 (II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设线性相关因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得