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第二部分高中数学新课程创新教学设计案例35 正弦函数的性质 教材分析这篇案例的内容是在学生已经掌握正弦函数图像的基础上，通过观察、归纳和总结，得出正弦函数的五个重要性质，即正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性教学重点是正弦函数的图像特征及五个重要性质，难点是周期函数及最小正周期的意义由于周期函数的概念比较抽象，因此，在引入定义之前，应注意通过具体实例让学生充分体会这种“周而复始”的现象，体会新概念的形成过程教学目标1. 引导学生通过观察，分析ysinx的图像，进而归纳、总结出正弦函数的图像特征，并抽象出函数性质，培养学生观察、分析图像的能力和数形结合的能力2. 理解和掌握正弦函数的五个重要性质，能够解决与正弦函数有关的函数的值域、最小正周期及单调区间等简单问题3. 使学生进一步了解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法，体会分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用4. 使学生初步体会事物周期变化的一些奥秘，进一步提高学生对数学的学习兴趣任务分析这节内容是在学生已经掌握了正弦函数图像特征的基础上，运用数学的符号语言把图像特征进一步“量化”，从而得出正弦函数的五个性质一般来说，从正弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦函数的定义域、值域、最值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，但对于周期性及单调区间的表述，学生可能会有一定的困难因此，在引入周期函数的定义之前，要让学生充分观察图像，必要时可把物理中的弹簧振动的实验再做一做，让学生体会“周而复始”的现象，体会概念的形成过程此外，对于周期函数，还应强调以下几点：1. x应是“定义域内的每一个值”2. 对于某些周期函数，在它所有的周期中，不一定存在一个最小的正周期，即某些周期函数没有最小正周期3. 对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期教学设计一、问题情境1. 教师提出问题，引导学生总结我们学习过正弦函数图像的画法，并通过观察图像，得到了正弦曲线的一些特征，那么这些特征体现了正弦函数怎样的性质呢？用投影胶片展示正弦曲线，引导学生探索正弦函数的性质：注：由此学生得出正弦函数的如下性质：（1）定义域为R（2）值域为1，1，当且仅当x2k（kZ）时，正弦函数取得最大值1，当且仅当x2k（kZ）时，正弦函数取得最小值1注：在此处，教师应提醒学生注意前面的“2k”，使学生初步感受一下正弦函数的“周而复始”性2. 教师进一步提出问题从正弦曲线我们注意到，函数ysinx在x2，0，x2，4，x4，6，时的图像与x0，2的形状完全一样，只是位置不同，这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？（设计目的：引导学生从物理中弹簧的振动，即小球在平衡位置的往复运动，体会事物的“周期性”变化）（2）数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？二、建立模型1. 引导学生探究2. 教师明晰通过学生的讨论，归纳出周期函数的定义：一般地，对于函数yf（x），如果存在一个非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f（xT）f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期说明：若学生归纳和总结出周期函数的如下定义，也应给以充分的肯定如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就叫作周期函数给出最小正周期的概念：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期3. 深化定义的内涵（1）观察等式sin（）sin是否成立？如果成立，能不能说是正弦函数ysinx的周期？为什么？（2）函数f（x）c是周期函数吗？它有没有最小正周期？3. 归纳正弦函数的性质通过观察图像，我们得到了正弦函数的定义域、值域、周期性等性质，除此之外，正弦函数还有哪些性质呢？教师引导学生归纳出以下两条性质：奇偶性：由诱导公式sin（x）sinx，知正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称单调性：观察正弦曲线可以看出，当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1因此，正弦函数在每一个闭区间2k，2k （kZ）上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k （kZ）上都是减函数，其值从1减小到1三、解释应用1. 例题分析例1求使下列函数取得最大值和最小值的x的集合，并说出最大值和最小值是什么（1）ysin2x（2）ysinx2（3）yasinxb （4）y2cos2x5sinx4解：（1）当2x2k（kZ），即xk（kZ）时，函数ysin2x取得最大值，最大值是1；当2x2k（kZ），即xk（kZ）时，函数ysin2x取得最小值，最小值是1使函数取得最大值的x的集合为xxk（kZ），最大值是1；使函数取得最小值的x的集合为xxk（kZ），最小值是1（2）由于函数ysinx与函数ysinx2同时取得最大值和最小值因此，当x2k（kZ）时，函数ysinx2取得最大值，最大值为3；当x2k（kZ）时，函数ysinx2取得最小值，最小值为1使函数取得最大值的x的集合为xx2k（kZ），最大值为3；使函数取得最小值的x的集合为xx2k（kZ），最小值为1（3）当a0时，使函数取得最大值时的x的集合为xx2k（kZ），ymaxab；使函数取得最小值时的x的集合为xx2k（kZ），yminab当a0时，使函数取得最大值时的的集合为xx2k（kZ），ymaxab；使函数取得最小值时的x的集合为xx2k（kZ），yminab（4）y2cos2x5sinx42sin2x5sinx2设tsinx，则y，且t1，1，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了当t1，即sinx1时，ymax1，取最大值时x的集合为xx2k（kZ）；当t1，即sinx1时，ymin9，取最小值时x的集合为xx2k（kZ）.练习求下列函数的最值，以及使函数取得值时的自变量的集合（1）yasinxb（2）ysin2xsinx例2求下列函数的周期（1）ysin2x（2）y解：（1）要求函数ysin2x的周期，只须寻求使等式sin2（xT）sin2x恒成立的最小正数T即可使sin（2x2T）sin2x恒成立的正数2T的最小值是2，当2T2时，T因此，函数ysin2x的周期为（2）要求函数y的周期，只须寻求使等式2. 教师启发，诱导学生自主反思（1）从上面的例题分析中，你是否有所发现？（这类函数的周期好像只与x的系数有关）（2）一般地，函数yAsin（x）（其中A0，0，xR）的周期是多少？要求函数yAsin（x）的周期，只须寻求使等式Asin（xT）Asin（x），即Asin（xT）Asin（x）恒成立的最小正数T即可使Asin（xT）Asin（x）恒成立的正数T，最小值是2，当T2时，T.因此，函数yAsin（x）（A0，0，xR）的周期为3. 巩固练习求下列函数的周期4. 进一步强化例3不求值，指出下列各式大于零还是小于零例4确定下列函数的单调区间（1）y1sin3x（2）ylog2sin3x四、拓展延伸1. 若常数T为f（x）的周期，nT（nN*）是否也是它的周期？2. 你能证明正弦函数的最小正周期是2吗？3. 某港口的水深y（m）是时间t（0t24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：表35-1经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该