抽象函数案例分析.doc

抽象函数案例分析这一个月一直在复习函数，正好赶上区里要做一节复习课的研讨课，结合学生的复习进度，我决定讲一节抽象函数的复习课。确定好了我讲课的主题，虽然以前也给学生复习过这一节的内容，但是，实际上自己仍然有许多的困惑，觉得不知从何入手。正好，以前我看过一篇文章，是上海七宝中学的文卫星老师写的自己的关于抽象函数的两节课的课例。于是，我又很认真的把那篇文章找出来，仔细研读了一下，心里顿时觉得豁然开朗，于是自己的构思就有了。可能是由于学生程度好的关系，文老师两节课从基本的初等函数出发，类比，联想，学生自己编拟了许多的题目，文老师和学生一起对具有基本初等函数模型的抽象函数做了细致而深刻的分析与挖掘。有一次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，还有代数与几何的综合问题。但我感觉，这也许只能使一部分学生能很好的掌握，但可能仍然有许多学生不明白，所以我感觉这节课有许多不足的地方。而且，本身就抽象函数而言，我们课本上并没有明确提到，至于什么是抽象函数，更没有明确的定义，只是，在近些年的高考题中，有涉及到用抽象函数符号表示的函数问题出现。学生对于解这类问题，很畏惧，有时不知从何入手。至于教师本身可能也没有做深入细致的研究，只是，发现有些题出现了，于是想法去解决，有时交给学生的方法过于形式化，不利于学生的实际学习。鉴于高三的学习时间紧，任务重，我必须要对此课做一些调整，才能真正符合我的学生实际。备课之前，我又仔细查看了一遍学生用的课本，认真研究了学生学习的一些具体的初等函数：一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数。仔细查清楚了新的课程标准及大纲对这些函数的具体要求，做到心中有数。我还翻阅了近十年的高考题，把所有考过的关于抽象函数问题的题目都一一摘录出来，并且做了细致的分析与归纳。考虑到咱们是北京的考生，必须符合北京的实际，我又把北京市近五年的高考题一一找出来，做了细致的分析，发现试题基本上在这一部分，出题很有规律，没有偏，难，怪题出现。于是心理对于这一部分的深度有了一定的把握和认识。第一次备课，我简单说了一些我的想法，得到了备课组的认可，于是回家就着手写教案。考虑到学生的实际情况：我的学生都是我一直从高一带上来的，对于他们的基础我还是很了解的。当时由于课时的关系，并没有对抽象函数做过研究，学生基本上是一无所知。而且，对于函数的学习，学生本身就与生俱来有些畏惧，何况是研究抽象的函数。基于学生的实际情况，我制定了如下教学目标：知识与技能：1：能根据已知抽象函数关系式得出具体函数模型。2：让学生明确可以运用研究初等函数的方法顺利迁移到抽象函数的研究。3：学会由特殊到一般研究问题的方法。过程与方法：1。尝试用基本初等函数模型，去研究抽象函数问题。情感态度与价值观： 通过对抽象函数问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习习惯。通过变式教学让学生体验它与初等函数关系密切，提高学习兴趣，增强自信心。教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决抽象函数问题。教学难点：抽象函数性质的探究。制定完这些以后，开始着手写教学环节。第一个环节我让学生自己归纳初等函数的图象和性质，从八个方面来归纳：函数的定义，定义域，对称性，图象，周期性，最值，单调性，奇偶性。目的是让学生对知识有一个系统的归纳整理，便于联想，记忆。第二个环节，是教师给出一个具体的题目，以正比例函数为背景的函数模型。例1：f（x）是定义在R上的函数，且满足以下条件：（1） 对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）。（2）当x时，且。求在区间上的最大值，最小值？其目的是通过这个题目，引出我这节课的主题：以具体函数为背景，来研究抽象函数的性质，并提高思维能力。这是一个全封闭式的题。其次，给一个半开放式的题：例2：f（x）是定义在R上的函数，且满足以下条件：（1） 对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）。（2） 当时，。我们可以类比哪个函数？可以得到一些什么结论？其目的就是训练学生的思维，让学生学会由头脑中已有的函数模型，顺利将研究具体函数性质的方法迁移到研究抽象函数问题。最后，给一个全开放式的题：变式2:自编一题 目的：进一步拓展学生的思维，提高学生的思维能力和解决问题的能力，并会归纳总结。完成了三个教学环节的设计，征取了大家的建议，我做了第一次修改：修改完以后，我忽然觉得例一的问法很不规范，而且，给学生设计的难度太大，不利于学生的学习，于是，又作了如下修改：例1：f（x）是定义在R上的函数，且满足以下条件：（2） 对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）。（2）当x时，且。（1） 求f（0）的值。（2）证明f（x）在R上是奇函数。（3）求在区间上的最大值，最小值？改完以后，觉得顺畅了许多，而且，非常有层次感，自己也比较满意。第一次上完课以后，感觉程序很顺畅，学生也很配合，自己觉得落实也不错。但总的感觉是觉得自己对课堂掌控过多，学生基本上是按照老师的思路在完成一个又一个的问题，处于被动的地位。尽管学生完成的很好，我仍然感觉很不尽如人意，觉得自己还可以再放的开一些，毕竟课堂是学生的，学生也是主体。基于上述想法，我又一次对自己的课堂设计作了进一步的调整。 考虑到三班的学生课堂气氛活跃，而且，学生的思维能力和灵活应变能力都很强，我决定再一次大胆调整我的思路，给学生更多自我的空间和思考的空间。我在第一部分，调整为学生展示自己的总结，并归纳方法。第二部分，也让学生展示自己的作业，同学加以评价和更正。其中第二部分内容设计如下：二.请找出满足右列函数关系式的初等函数模型,用线连结基本初等函数 函数关系 对于第三部分的第一个环节，我上课时也做了调整：原来讲解例1时，只限于教师讲解完成，就小结，没有充分展示学生真实的思维活动。后来作了如下调整：摘录如下：师：请大家思考例1：求值与证明。生1：我用的是赋值法：令，则得出。生2：判断函数的奇偶性，关键是寻找与之间的关系。我仍然采用赋值法：令，则=0。所以f（x）在R上是奇函数。师：大家还有别的做法吗？生3：我是这么做的：如下：从而得出，故而。，从而得出：。师：大家觉得这种做法怎样？生4：也可以，就是有些繁琐，不够简洁。我还是愿意采用前面的做法，直接得出结论。师：很显然，第一种做法，可以快速的得到我们所要的答案。但是也许第二种做法也值得我们深思。它用到一些变形的技巧和能力。师：大家看问题3如何解决？生5：我觉得这道题要考察函数的单调性。因为要求函数在闭区间上的最大与最小值，可以证明这个函数是在定义域上单调递减。师：很好，你完成证明没有？生5：已经完成。师：很好。一会儿给我们展示你的证明。大家还有别的想法吗？生6：我想到了一个函数：。我观察这个函数很符合要研究的函数所具有的性质，又由题目所给的已知条件，我可以求出值，从而求得了最大与最小值。师：大家觉得如何？生7：我觉得不妥，不能用特殊来代表一般。只能根据这个具体函数所具有的性质来猜想要求的函数是否也有这种性质。师：很好。我们可以由特殊的函数模型来猜想要求的函数所具有的性质，这是一种特殊化的方法，我们数学上经常用到，下面大家思考如何证明该函数单调递减？生8：用定义来证明：设，则。师：等等，这一步是如何出来的？生8：利用f（x）在R上是奇函数，将前面的负号拿到括号里面去，再用条件就得到了。 。从而证得在区间上单调递减。师：思路清晰而且条理分明。我们要善于将条件与要证明的结论有机结合起来，解决问题。大家还有别的证法吗？生9：刚才生3已经完成了的证明，我借用她的结论可以方便的证出来。但是要对做恒等变形。师：非常好。我们刚才通过一个特例，猜想出了所研究的函数具有的性质，并加以严格证明，体现了由特殊到一般的思想方法，希望大家掌握。请大家加以归纳总结：1 赋值法。2 用特殊化（由特殊到一般）的方法，先猜后证。3 证单调性时合理变形。（加一项，减一项，乘一项，除一项）4不具有具体函数性质的抽象函数不能随便套用，要具体问题具体分析。通过例1的讲解与分析，学生基本弄清楚了解决这类问题的思路与方法，后面的题目完成的比较顺畅，不再叙述。讲授完这节课，大家进行了评议：师1：该课准备充分，板书设计很好。对学生做阶段性总结很有必要。2：难点把握的很到位。发现规律，寻找函数模型，由特殊到抽象去研究，入手容易。选题有代表性，借助于实际模型效果好。3：采用变式教学，并及时证明，猜想，培养了学生证明的意识，鼓励学生积极思考。4：及时对例题进行归纳，小结，对学生错误的思维进行纠正。5：在第二部分连线时最好让学生说明是如何想到的，教师要加以强调，做补充说明。6：几个不常用的函数如：应该去掉。师2：复习课实效性强，对学生的思维训练强。学生活动量大。层次清晰，入手深入，探究意识强。师3：教学设计上突出了思维的方向性，由特殊去猜想，体现由特殊到一般的演绎的思想。数学思想，思维方式上训练很深。师4：复习课主要解决两个问题：1，讲什么。2，怎么讲。本节课重点突出，学生的能力得到很好的培养。课堂上学生的思维过程得到充分展现，将学生的思维漏洞暴露在课堂很好。很注意小结，但是小结3，合理变形，太宽泛。师5：本节课学生思维活动高，要求高，师生互动好，落实到位好，建议是否将本课内容穿插到函数性质去讲会好一些。师6：教师重视小结，探究意识强，体现了思维的变化过程。教研员：1。教会学生怎么去想，如何思考是主要的。2：落实上教师在课前要心中有数，目的明确。我的感想：1在解题后，及时进行了解题反思，并让学生落实到笔头上。做到了思维到位，结果到位。教师引导学生反思解题过程，优化解题方法，推广解题结论，拓宽解题视野。让学生会一道题，就会解无数道题。著名的数学教育家波利亚说：“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”。学生总是根据具体的情景来决定解题方法，如果不对它进行概括，那么它的范围就很有限，让学生做一些变式的训练，使学生的知识发生同化和顺应，提高学生将知识迁移到新的问题情景中的灵活性。解题后经常引导学生思考如下问题是十分有益的：你能用简洁的语言说出解题思路吗？解题的关键在哪？是否还有其他更好的方法？所得的结论正确吗？能否对题设和结论做一些变式？能否把当前命题推广到更一般的结论？能否举出符合题目条件的特例？能否将此类知识与别的知识进行交汇，综合？2本节课立足探究，引导学生主动思维。高三数学复习课的效果，我觉得有三个层次：讲懂老师给学生讲清楚了，学生也听懂了，但经不起时间和问题变化的考验；会做题目能做出来，但不会融会贯通，只限于老师交给的方法。做会-善于联系所学知识，能够对问题进行变式发散。“做会”是我们应该追求的最高目标。高三教学要讲究目标达成度，要落实到课堂。教学中要发挥学生学习的主动性，在本节课中，我给了三类题：全封闭，半开放，全开放，真正做到了师傅领进门，修行在个人。让学生自己编拟题目，学生学习积极而投入，真正为自己而学，时时体验到探究的乐趣和成功的喜悦。整节课很多知识和方法是学生亲自经历，主动建构的，课堂落实效果很好