和e是超越数.doc

和e九 和e是超越数在代数里我们知道，实数全体可以分成有理数和无理数两大类. 前面已经讲过，和e都是无理数. 事实上，实数还有一种分类的方法. 就是把实数分成代数数和超越数两大类. 下面我们就来谈谈有关代数数和超越数的问题.先来看什么是代数数.设u是一个实数，如果有整数，使得u适合代数方程那末u就叫做代数数. u所能适合的整系数代数方程（96）可以不止一个，它们的次数n中最低的那个n就称为u的次数.不是代数数的实数就叫做超越数.对于复数，也可以完全类似地定义代数数和超越数的概念.例1 有理数是（一次）代数数.证明 有理数适合方程（一是代数方程的最低次数）所以是一次代数数. （例如，1虽然也适合二次系数方程，但是，因为它适合一次方程，所以称它为一次代数数）反过来，一次代数数都是有理数.例2 二次代数数的一般形式是：， （97）其中r和s是有理数，并且；m是正整数并且m不是一个整数的完全平方.证明 我们把r和s通分，写成这里p是正整数，q和t是整数，那末，是方程 （98）的根，并且方程（98）的系数都是整数. 因此，数（97）或者二次代数数，或者是一次数数. 但是，从例1知道，一次代数数是有理数，而当，m不是一个整数的完全平方时，数（97）不可能是有理数，所以数（97）是二次代数数.反过来，如果是任意三个整数，并且，又u是实数，它适合方程，那末由一元二次方程的求根公式，得到已知u是实数，所以.如果m是整数u的完全平方，那末u是有理数，否则u就是形如数（97）的数.所以，二次代数数的一般形式是（97）.又如等等都是代数数，事实上，数（100）就是方程的根，因为，如果把数（100）记做u，那末.因此把上式的左边展开得到，.所以把这个式子整理后就得到方程（101）.一般地说，把有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开方等运算后所得到的实数就是代数数. 历史上曾经研究过这样的问题：是否一切代数数都可以从有限个有理数出发经过有限次加，减，乘，除，开方等运算得到. 这个问题曾经苦恼过许多数学家，一直到群论出现后才得到了否定的回答，就是：并不是所有代数数都可以用上述方法得到的.我们再回到所考察的两个常数和e上来. 前面已经说过e和是无理数，事实上，e和还是超越数，而不是代数数. 为什么人们对于e和是不是代数数的问题会发生兴趣呢？这是有一段相当长的历史的.两千多年前几何学家们就提出这样的一个问题：设给定一个圆O，要求作出一个正方形，使得它的面积和给定的圆O的面积相等. 如果把圆O的半径R算作单位长，那末圆O的面积是. 因此，上述问题也就是说，作一条线段m，使是它的长度是R的长度的倍，而以线段m为边的正方形就是所要求的正方形，这就是所谓“变圆为方问题”.我们知道，无论作什么图形，都要用工具. 如果我们容许用圆柱作为工具，那末上述问题是不难解决的. 事实上，我们只要制作一个圆柱，使它的上底和下底都和圆O一样大，而高是R的长度的一半. 再把这个圆柱的侧面接触平面，在平面上滚一周就画出一个矩形（图10），它的一边长是，另一边长是2. 这个矩形的面积就是了. 然后再用下面的方法把这个矩形变形成面积相等的正方形：先把矩形的长边二等分，再作线段AB，使它的长度等于矩形的长边的一半，并且延长BA到C，使AC的长度等于一个单位长（图11）.所以AB的长是，AC的长是1.以CB为直径画半圆，再过点A作CB的垂线交圆于D.那末AD就是所要求的线段m了.但是，在欧几里得几何学里的作图问题，总是限制只能有限次地应用直尺和圆规这两种工具来作出所求的图形，这样，就使问题变得很难解决. 上面这个变圆为方的问题两千多年来就不知苦恼了多少几何学家，后来才被证明只有限次地应用直尺和圆规是不能作出与已知圆等面积的正方形的. 也就是说，对于给定长度是R的线段，有限次地应用直尺和圆规，不可能作出一条长度是R的倍的线段来的. 这个答案是根据是超越数这个事实作出的，我们只能把这些理由推出几点简单地写在下面.我们在平面几何里已经知道，给定长度是r的线段，可以用直尺和圆规作出长度是（m、n都是正整数）的线段；也可以作出一条线段，使它的长度的平方等于r. 因此，反复进行上述的手续，就可以看出：有限次地应用直尺和圆规，可以从给定的单位长度的线段l出发，作出长度是u的线段，这里u是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方等运算所得到的数. 而且重要的是，后来人们证明了：对于给定单位长度的线段l，如果我们限于有限次地应用直尺和圆规来作出长度是u的线段的话，那末这个u必须是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方等运算后所得的数. 因此，这个u只能是代数数. 如果u是超越数，那末就作不出所求的线段了.这样一来，就把有限次地应用直尺和圆规解变圆为方的问题归结为，是不是有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方所得到的数. 因此人们看到，如果是超越数，那末，有限次地应用直尺和圆规来解变圆为方的问题是不可能的直到1840年柳维尔（Liouville）才证明e不是二次代数数，33年后埃尔密脱（Hermite）研究指数函数，证明了e是超越数，到1882年林德曼（Lindemann）在埃尔密脱证明e是超越数的基础上，借助于前面说过的欧拉公式，才证明了是超越数. 这方面的工作后来发展为超越数论.顺便介绍一下这方面的现代成果. 1900年希尔伯脱提出了当时数学上的23个难问题. 其中一个问题是：数是不是超越数？直到1930年，齐盖尔（Siegel）和盖尔冯德才各自独立地解决了这个问题. 他们证明了：如果a是代数数，并且b也是代数数，但不是有理数（包括上面的情况），那末一定是超越数.除掉e不是二次代数数这一点外，这些定理的证明都要用到微分学的知识. 因此，我们只能证明e不是二次代数数.也就是我们要证明：对于任何整数，都不会有事实上，如果有整数使得（102）成立的话，那末把级数（72）和（82）代入（103），我们得到把（104）乘以(n-1)!，并且把（104）右边级数的第n次部分和记做Sn，尾量记做Rn.那末得到而是整数，所以也应当是整数. 但是因为，取，那末根据（58）和（106），得到但是，我们知道绝对值小于1的整数只可能是0. 因此，从得到.又从（106）和(n-1)!Rn=0得到上式的两边取绝对值，并且应用（58）式得到在取n的值的时候，不但要使得，并且取n是奇数或者偶数要从使和