必修二知识梳理 柏.doc

高中数学必修二知识点第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，包括了面、棱和顶点；而由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1、棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 2、棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1）侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3、棱台棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的多面体为棱台。4、圆柱圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。5、圆锥圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥。6、圆台圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间形成的部分为圆台。7、球球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体为球体，简称球。1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影和平行投影把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。1.2.2 空间几何体的三视图1.定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。2.三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”1.2.3 空间几何体的直观图建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）建立斜坐标系，使=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半； 1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积圆柱侧面积； 圆锥侧面积：圆台侧面积：体积公式：；球的表面积和体积：.第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面1.平面的概念：A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；2.平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。3.点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al； 点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l。4.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系1.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线2. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（空间平行线的传递性）3. 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补。4.异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系1.直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 直线在平面内有无数个公共点 直线和平面相交有且只有一个公共点 2.三种位置关系的符号表示：a；aA；a2.1.4 平面与平面之间的位置关系1.（1）平行没有公共点； （2）相交有一条公共直线；b2.2 直线与平面平行的判定及其性质2.2.1 线面平行的判定：定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）2.2.2 面面平行的判定：定理：如果一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（线面平行面面平行）2.2.3 线面平行的性质：定理：如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行线线平行）2.2.4 面面平行的性质：定理：（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）2.3 直线与平面垂直的判定及其性质2.3.1 线面垂直的判定：1.定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。（线线垂直线面垂直）2.直线和平面所成的角定义：平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。平面的平行线与平面所成的角：规定为；平面的垂线与平面所成的角：规定为。2.3.2 面面垂直的判定：1.二面角的平面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角2.定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）2.3.3 线面垂直的性质：定理：垂直于同一平面的两条直线平行（线面垂直线线平行）2.3.4 面面垂直的性质：定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直线面垂直）第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率1. 倾斜角的定义：取轴作为基轴，轴的正向与直线向上的方向形成的角叫直线的倾斜角。范围：，当直线与轴平行或者是重合时，倾斜角为2. 斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。记作。当倾斜角为时直线的斜率不存在。若直线过点，则直线的斜率为：3.1.2 两直线平行与垂直的判定1.两条直线，斜率都存在，则：（1）且（2）（当的斜率存在的斜率不存在时）（3）与重合且3.2 直线的方程1.点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。2.斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b。3.两点式：（）；已知直线两点，4.截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。5.一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围；特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）； 6.对于直线有：； （2）和相交；和重合； .3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标1. 与相交则交点坐标即方程组的一组解。若方程组无解 ；方程组有无数解与重合2.直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（2）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为：（为参数），其中直线不在直线系中。3.3.2 两点间的距离1.两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 。3.3.3 点到直线的距离1.点到直线距离公式：一点到直线的距离为3.3.4 两条平行直线间的距离1.两平行直线距离公式：对于直线，与间的距离为：或者在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。第四章 圆与方程4.1 圆的方程1. 圆的定义1.平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，其中定点就是圆心，定长就是半径。2.圆的标准方程与一般方程1、圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r；特别地当圆心为原点时，圆的标准方程为。2、圆的一般方程为， 可变形为，圆心坐标，半径为此时方程表示圆的等价条件是。3.圆系的方程1.同心圆系方程，其中圆心为,半径为r（a，b为常数，且r0）； 2.过定直线L：和定圆交点的圆系方程为（其中参数）。3.过两定圆：和：交点的圆系方程是（其中参数，不含圆的方程，当时，方程表示两圆公共弦所在的直线方程）。4.2 直线、圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设点P与圆心的距离为d，圆的半径为r，则有：（1）dr，点P在圆外；（2）d=r，点P在圆上；（3）d，两圆外离；（2）d=，两圆外切；（3）d，两圆相交；（4）d=，两圆内切；（5）0d，两圆内含，（当d=0且时为同心圆）4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系1.定义：如图，是单位正方体.以A为原点，分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系O-xyz.1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）