不等式证明的常用策略.doc

不等式证明的常用策略山东 于守卫一、函数的策略例1、已知0x,求证 ：5sin3x+3sinx5cos3x+3cosx。证明： 设f(t)=5t3+3t，易知函数f(t)在R上是增函数。0xsinxcosxf(sinx) f(cosx )，即5sin3x+3sinx5cos3x+3cosx。例2、设a、b、c为绝对值小于1的实数，求证：ab+bc+ca+10。证明：设关于a的函数f(a)=ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1（a-1,1）。把f(a)看作是a的一次（b+c0时）或常数（b+c=0时）函数，则f(-1)f(a)f(1)，或f(1)f(a)f(-1)。a、b、c为绝对值小于1的实数,f(1)=(b+c)+bc+1=(b+1)(c+1)0,f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)0f(a)0，即ab+bc+ca+10。二、方程的策略例3、已知：a+b+c=0,且abc=2。求证：a、b、c中至少有一个不小于2。证明：a+b+c=0,且abc=2a、b、c中必有一个正数，不妨设a0，则有b+c=-a,bc=b、c是方程x2+ax+=0的两根，=a2-40。又a0,a38,即a2。故a、b、c中至少有一个不小于2。三、数形结合的策略例4、已知:函数f(x)=，求证：当x1x2时，f(x1)-f(x2)x1-x2。证明：设A(x1,1)，B(x2,1)，则OA=f(x1),OB=f(x2), AB=x1-x2;易知OA-OBABf(x1)-f(x2)x1-x2。四、分类讨论的策略例5、已知函数f(x)的定义域为0，1，且f(0)=f(1)；当x1、x20,1，x1x2时，都有f(x2)-f(x1)x2-x1，求证：f(x2)-f(x1)。证明：不妨设0x1x21,若x2-x1,则f(x2)-f(x1)x2-x1=即f(x2)-f(x1)；若x2-x1f(0)=f(1)f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)f(x2)-f(1)+ f(x1)-f(0)x2-1+x1-0=(1-x2)+(x1-0)=1-(x2-x1)；综上f(x2)-f(x1)。五、归纳递推的策略例6、已知：a、b、c、d均是小于1的正数，求证：a+b+c+dabcd+3。证明：a、b、c、d都是小于1的正数ab+1-a-b=(1-a)(1-b)0a+bab+1a+b+c+dab+c+d+1abc+d+2abcd+3，即a+b+c+dabcd+3成立。六、构造求解不等式的策略 例7、已知：a、bR+，ab=a+b+3。求证：ab9。证明：a、bR+，a+b2 ab2+3-2-30即（+1）（-3）03 ab9。七、换元的策略例8、已知：a、b、cR+,a+b+c=1.求证：9。证明：令则x+y+z=1且x、y、zR+。=3+3+6=9八、主元策略：不等式中字母个数较多时，合理选择一个字母为主要元素，证明不等式。例9、已知：abc,求证:a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2。证明：abca2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=（b-c）a2+(c2-b2)a+bc(b-c)=（b-c）a2-(b+c)a+bc=(a-b)(a-c)(b-c)0a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2。例10、求证：对于任意实数a、b、c，a2+3b2+c2+3ab+3bc+ca0恒成立。证明：a2+3b2+c2+3ab+3bc+ca0a2+(3b+c)a+3b2+3bc+c20,将其视为a的一元二次不等式，对于任意实数b、c，=(3b+c) 2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b+c) 20关于a的不等式a2+(3b+c)a+3b2+3bc+c20的解集为R,即对于任意实数a、b、c，a2+3b2+c2+3ab+3bc+ca0恒成立。 九、配凑的策略 例11、已知：a、bR+，求证：。证明：a、bR+，。例1