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无限短轴承论文（终稿） 无限短轴承的解析法和有限差分法摘要当轴承沿z方向的尺寸远小于沿x方向尺寸时，则pz?远大于px?，此时可近似地令p0x?=。 即可把这种轴承视为无限短轴承【1】。 方法一无限短轴承的解析法 1、压力方程通常h只随x变化而与y无关，则可得新的雷诺方程为3p?hh6Uzzx?=?（1-1）当不计及轴颈对轴线倾斜时，h不是z的函数【2】，即223d p6U dhdzhdx=。 对z积分两次，得236U dh1pzAzBhdx2=+（1-2）考虑到通常采用径向供油润滑下，可有如下的压力边界条件dpz0，0dz=，lzp02=，积分常数A和B分别为A=0，B=?233U dhlhdx4，又因()()dhdh1crsindxd r?=则（1-2）式可写成()()22323ULsinp,zzrc41cos+?=?（1-3） 2、油膜反力与承载能力油膜压力积分得油膜反力F，在稳态运转条件下，它将与外加载荷W大小相等方向相反。 在所给的轴承系统的坐标系O-xy中，油膜反力的分量为()()2121l2xj0l2yj0F2pz cosR ddzF2pz sinR ddz=?=，（1-4）在一般矿物油润滑条件下，油膜不能承受过大负压（即受拉），故可近似采用压力区积分限10=，2=。 ()()()()3x3203y320ULsinFcosd2c1cosULsinFsind2c1cos=+=+?对进行三角函数积分，得()()32x2223y3222ULFc1ULF4c1=?=?（1-5）所以，总油膜反力表现为偏心率的高度非线性函数，即()()()1132222222xy222ULFFF1164c1=?=+（1-6）在稳态运转条件下，考虑到FW=，现定义平均压力mWpLd=，考虑mFWp dL=，sUdn=，sn单位为r/s（即转/秒），则式（1-6）可写为()()12222s2222m1n1Ld1162cdp?=?+?由于j2dR=，称之为相对间隙，并定义s22mnLrSpW=（1-7）()()12222222111S116Ld?=+?（1-8）式中S是一个无量纲参数，称为轴承承载特性系数。 它是由径向轴承所受外载荷W，运转速度sn，轴承几何d，L和c，以及油膜滑油粘度等主要运转参数和设计参数决定的。 在一定宽径比Ld下，一定的S值将对应一定的轴颈偏心率，这可由式（1-7）和（1-8），通过试凑法或迭代法解出。 由此，可得到相应的最小油膜厚度()minhcec1=?=?（1-9）式中值不能过大。 否则，将因minh过小，造成轴颈与轴承表面相接触，而不能建立液体摩擦的流体动压油膜润滑，不能实现油膜承载。 为了合理考虑轴承径向供油位置，最小油膜厚度位置可由图中jOO与外载荷W之间夹角即偏位角来确定。 考虑到式（1-5）可得，()122y11x1FtantanF4?=（1-10）为了现象的说明偏位角与偏心率之间的关系，可假定上式中14，则该式可简化为()1221tan?=。 这表明根据直角三角形勾股弦定理，在极坐标?中满足该式的轴颈中心jO的轨迹，落在以数1为直径的半圆上。 3、流量若以x1Q和x2Q分别表示轴承油膜压力区即承载区的入口（起点）和出口（终点）处的周向流量，以zQ表示油膜压力区即承载区端泄流量，由于在轴承油膜气穴区压力接近大气压力，那里几乎无轴向压力流，所以只在油膜压力区里根据流量理论连续原理，有zx1x2QQQ=?（1-11）由流体膜滑块支承物理模型中单位宽度的体积流量()()3hx1203hz120hp1qudyUUh12x2hp1qwdyWW h12z2?=?+=?+(1-12)对上式中x向单位宽度流量xq实行z向积分，考虑12UU+U=,可得31Lx1x110132Lx2x2202hp1Qq dzLUh12x2hp1Qq dzLUh12x2?=?+?=?+（1-13）鉴于在无限短轴承理论中，周向压力梯度px?可省略；又因为油膜压力起点10=处，1maxhhce=+，终点2=处，2minhhce=?，所以有()()z1QULceceULeULC2=+?=?（1-14）端泄流量zQ，也可通过（1-12）中z向单位宽度流量zq实行x向积分得到。 相应的端泄流量系数定义为zqsQC2r L=。 4、摩擦力、摩擦系数和摩擦功由牛顿粘性定律知，摩擦力21Lf0Frd dz=，对一般径向轴承，其1U0=,2UU=,则在轴承和轴颈表面处有y0,h=dup h?Udyx2h=+?=（1-15）式中+用于轴颈，因轴颈处yh=；-用于轴承，因那里y0=。 对短轴承理论，px?可省略，所以得到轴颈旋转所受摩擦力21Lf0UFrd dzh=（1-16）在气穴区上游油膜破裂边界2=处，仅剩下的剪切流量，将在气穴区内及气穴区下游油膜再形成边界1=处保持着，因此由流量连续条件，有211Uh LUhl22=，式中h为气穴区内及气穴区下游边界处油膜厚度，沿运动方向，h在变，l也在变，即2hlLh=，考虑这一关系，式（1-16）可写为2211ff,oilf,cav22ddFFFULrhhh=?=+即()()()2f20ULrd+dF1c1cos1cos=?+?+据三角形函数积分，得()f122ULr1F1c11=+?+（1-17）式中方括号里所含的两项，分别表示油膜区和气穴区的摩擦力。 可见，气穴区里所发生的摩擦力是相当可观的，例如，在0=是，两区域粘性摩擦力为11，而当0.5=时，这一比值为111.5?。 定义摩擦系数为fFfW=将式（1-17）的fF和式（1-6）的FW=，代入上式，得()()3222122221+1111fLd116?=?+?+相应的摩擦特性系数定义为()()322f2122221+11f11CLd116?+=?+单位时间摩擦功为()2ff1221+1U Lr=1NF Uc1+?+=用MATLAB编程clear R=0.0325;d=2*R;L=0.022;e0=0.00001;c=0.00005315;epsilon=e0/c;omega=2600;U=R*omega;visc=0.034;z=0;n=100;dt=pi/100;for i=1:n+1thita(i)=(i-1)*dt;p(i)=3*visc*U/R/c2*(L2/4-z2)*epsilon*sin(thita(i)/(1+epsilon*cos(thita(i)3;end plot(thita,p)F=visc*U*L3/4/c2*epsilon/(1-epsilon2)2*(pi2*(1-epsilon2)+16*epsilon2)0.5S=1/(L/d)2*(1-epsilon2)2/pi*epsilon*(1/pi2*(1-epsilon2)+16*epsilon2)0.5Q=U*L*c*epsilon F1=visc*U*L*R/c*pi*(1+1/1+epsilon)/(1-epsilon2)0.5上面程序中，p为油膜压力，F为总油膜反力，S表示轴承承载特性系数，Q为端泄流量，F1表示轴颈旋转所受的摩擦力。 Pmax=2.4906e+006F=1.7386e+003S=0.3964Q=1.8590e-005F1=270.5147方法二无限短轴承的有限差分法:由动压润滑理论知，对不可压、等粘度和稳态运转条件下的无限短轴承的雷诺方程为3p?hh6Uzzx?=?（2-1）当不计及轴颈轴线对轴承轴线倾斜时，h不是z的函数，式（2-1）可写为223d p6U dhdzhdx=(2-2)由()()dhdh1crsindxd r?=,UR=得，2232sd pLsin6dzh p c=?（2-3）在润滑力学问题中，对求解上式问题时，采用有限差分法。 为了便于数值计算和数据推广应用，常将（2-3）方程表示为无量纲形式。 即得到如下无量纲参量()()sp,zp,zp=，hh1cosc=+，xR=，zzL=，ec=，cR=。 式中p为油膜压力，sp为供油压力，h为油膜厚度，c为半径间隙，为角坐标，R为轴颈半径，L为轴承宽度，为偏心率，e为偏心距，为动力粘度，为轴颈角速度。 为采用有限差分法求解式(2-2)，需对轴承计算区域进行划分，轴承展开图及其求解区域划分情况见图2-1和图2-2。 图2-1图2-2对图2-1所示的滑动轴承，其压力边界条件为11p,p,022?=?=()()p0,zp2,z=整个计算区域的网格划分如图2-2所示。 将计算区域沿圆周方向划分成m等份，沿z方向划分为n等份。 按照这种划分，圆周方向和z方向的计算步长分别为2?1m1?=zn1?=Reynolds方程的差分方程及迭代方法2232spLsin6zh pc?=?（2-4）令2sLsinQ6pc=?则（2-3）可写为223pQzh?=（2-5）在上述区域划分的基础上，以差商表示微商2i,j1i,ji,j122i,jp2pppzz+?+?=?代入式（2-4），两边同乘以2z?，后得到如下形式的差分方程2i,ji,ji1,j+i,ji1,j?i,ji,j1i,ji,j131zpE pWpN pSpAh+?=+?上式中，A2=，i,ji,jEW0=，i,ji,jNS1=根据迭代法，利用MATLAB编程，程序如下clear R=0.0325;d=2*R;L=0.022;e0=0.00001;c=0.00005315;epsilon=e0/c;omiga=2600;U=R*omiga;visc=0.034;m=36;%circular（周向）direction division-thita n=20;%axial(轴向)direction division-z thita1=0;thita2=2*pi;z_hat1=-1/2;z_hat2=1/2;dt=(thita2-thita1)/m-1;dz=(z_hat2-z_hat1)/n-1;A=2;ps=20000;H=zeros(m,n);Q=zeros(m,n);B=zeros(m,n);East=zeros(m,n);West=zeros(m,n);South=zeros(m,n);North=zeros(m,n);po=zeros(m,n);%initial valueof pressure（初始值的压力）,zero pn=zeros(m,n);%pressure afteriteration（迭代后压力）for i=1:m thita(i)=thita1+(i-1)*dt;for j=1:n z(j)=0.5-(j-1)*dz;H(i,j)=1+epsilon*cos(thita(i);Q(i,j)=-6*visc*omiga*epsilon*L*sin(thita(i)/ps/c2/R;B(i,j)=-(dz2*Q(i,j)/H(i,j)3);North(i,j)=1;South(i,j)=1;East(i,j)=0;West(i,j)=0;end endfor i=1:m for j=1:n po(i,j)=0;pn(i,j)=0;end endcov=100;time_cover=0;while cov0.00001%boundary pressurevalue（边界压力值）pn(:,n)=0;pn(:,1)=0;pn(1,:)=0;%at thita1pn(m,:)=0;%at thita2for i=2:m-1for j=2:n-1pn(i,j)=(East(i,j)*po(i+1,j)+West(i,j)*pn(i-1,j)+North(i,j)*po(i,j+1)+South(i,j)*pn(i,j-1)+B(i,j)/A;pn(i,j)=pn(i,j)*1.65/A-0.65*po(i,j);if pn(i,j)0pn(i,j)=0;end end end%for i=1:m%pn(i,n)=pn(i-1,n);%end err=0;total=0.0001;for i=1:m-1forj=1:n-1err=err+abs(pn(i,j)-po(i,j