第7章 拉普拉斯变换.doc

第七章 拉普拉斯变换将函数f(x)与含参数k的指数函数相乘而后对x积分，积分结果是参数k的函数记为称为积分变换。本章主要讨论拉普拉斯变换，要求函数在区间（0，）中有定义。从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，它的优点表现在:求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和齐次解，而且初始条件自动地包含在变换式里；拉氏变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算；在无线电技术中经常遇到的指数函数、超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换转换为简单的初等函数；拉氏变换把时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念。21 拉普拉斯变换十九世纪末，英国工程师（O.Heaviside,1850-1925）发明了“算子法”解决电工程中遇到的一些基本问题。后来，人们在法国数学家（P.S.Laplace,1749-1825）的著作中为其找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换。21.1 拉普拉斯变换的定义（单边拉氏变换） ，p为复数，：考虑t0时刻的跃变包含到初始条件中称为的原函数，为的像函数，可简记为，= ,=-1拉氏变换和傅氏变换的关系：傅氏变换是拉氏变换中p取纯虚数的特殊形式，傅氏变换中对f(x)的要求比较严格，而拉氏变换中仅要求f(x)随x的增长速度不快于21.2拉普拉斯变换的敛散性由于积分是一反常积分（）因此应考虑积分敛散性，这就要求，即最多只能按（）方式增长，这时要求Rep,例如f(t)=无法进行拉氏变换，这是因为无法遏制在时发散，除非这种函数限定在有限时间范围内。21.3 一些常用函数的拉氏变换1、 阶跃函数= 2、 指数函数 3、（n为正整数） 即=t=4、 冲激函数=1=5、其他常见函数 21.4 拉氏变换的基本性质 线性叠加性若, 、为常数时，则有 原函数微分若，则= =原函数的积分若，则 = = =+时域平移（延迟定理） 若=，则域平移（位移定理） 若=，则=尺度变换 若=，则初值 若及可以进行拉普拉斯变换，的变换式为，则 因 = = = 初值定理告诉我们：只要已知变换式并求的极限，则可求出原函数的初值。终值 若及可进行拉氏变换，的变换式为且存在，则 由 而终值定理告诉我们：可从来求时值。例 如图在时开关K闭合，求输出信号 (a)(b) ()卷积 （函数变量小于零时，函数值等于零） ，则上式令：则上式 =相乘 (11)对p微分 对p积分 22 拉普拉斯变换的反演不少方程在拉氏变换下的像函数方程比较容易求解。但是解出像函数后还必须进行反演，找到它的原函数才是原方程的解。22.1 有理公式反演法 设，即为极点。 极点为实数、无重根当时，可用长除法将分子中的高次项提出，余下部分即将其分解为，而 包含共轭复数极点仍可用上述方法求得，但可用共轭的关系化简。 有多重极点设= （为分母中和无关的部分） 22.2 用留数定理求逆变换黎曼-梅林反演公式 其中表示路径平行于复数p平面上的虚轴且在所有奇点的右方，积分方向自下而上。22.3 查表法拉氏变换是重要的数学工具，为了方便，人们已将常用的像函数求出来，并构成一个表，称为拉氏变换表，从表中可查出所需的原函数和像函数。但拉氏变换不可能将所有的函数都包含进去，拉氏变换表应用范围的扩大，