第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章 函数与极限（10连续函数的运算与初等函数的连续性）第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。重点：利用函数的连续性求函数的极限。难点：分段函数连续性的讨论。作业：习题110（）问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象初等函数连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零例1 函数，因为在区间内连续，故由定理3知正切和余切函数在它们的定义域内是连续函数结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数二、反函数与复合函数的连续性定理4 如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续例2 正弦函数在区间上单调增加且连续，所以它的反正弦函数在相应的闭区间上也是单调增加且连续同样，反余弦函数在区间上是单调减少且连续；反正切函数在区间内是单调增加且连续；反余切函数在是单调减少且连续结论3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数定理5 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点处连续，那么复合函数，当时的极限也存在且等于，即说明（1）上式又可写为；（2）定理5中的换成可得类似定理例3求极限解 定理6 设函数在点处连续且，而函数在点处连续，那么复合函数在点处也是连续的证明 因为，所以当时，有 又因为在点连续，所以对上述的，当时，有 即 于是，对当时，总有所以复合函数在点处连续例4讨论函数及的连续性解 函数可看作由及复合而成，而正弦函数在区间内是连续函数，又函数在内是连续函数，据定理6知复合函数在区间内是连续函数函数可看作由及复合而成，而正弦函数在区间内是连续函数，又函数在和内是连续函数，据定理6知复合函数在区间和内是连续函数三、初等函数的连续性1 指数函数在区间内是连续函数证明 对任，在极限部分已证明极限，所以，故，因此指数函数在点处连续，又由于的任意性，指数函数在内连续2 对数函数在区间内是连续函数由指数函数单调性和连续性得到3幂函数（为任何实数）幂函数定义域随而变，不过在内总是有定义的，因此幂函数在内是连续的因为，函数与都是连续的，由定理6可知幂函数在区间内连续4幂指函数形如的函数称为幂指函数若函数连续，且，则幂指函数连续若极限，则例5求极限解 结论4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续5初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）说明 由连续性提供了求极限的方法，如果是初等函数，且是函数的定义区间内的点，则有例6求极限解 因为是初等函数定义区间内的点，所以例7 求极限解 例8 求极限解 ，若，则例9求极限解 ，若，则例10求极限解 又同理可得从上面两例可得到，（中变量一样）例11求极限解 由于改为连续变量，令，则，又由函数极限与数列极限关系定理，当为自然数时，有 例12当为何值时，函数在区间上连续解 当时，为初等函数，所以是连续函数，当时，为初等函数, 所以是连续函数，当时