第九章____多元函数积分学总结.doc

第九章 多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、 三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。2、 三重积分的计算：（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。（2） 计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之投影法方法概要该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V是曲面（称为下曲面），（称为上曲面）与以xy边界为准线，母线平行于Oz轴的柱面为侧面。图形示例适用范围投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。注意点若是x一型区域：，则有若xy是y一型区域：，则有若xy是圆域或圆域的一部分时，也可化为xy上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。平面截割法方法概要该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面上的质量积分，最终得到总质量。设立体V介于两平面之间（，知对立体V中任意一点，有）。过，作垂直于Oz轴的平面与立体相截，截面区域为，如图6-26所示，（知对立体V中的任意一点，有），从而立体区域V可表示为：于是 图形示例适用范围仅是z的表达式或是常数，而的面积有公式可计算，可使这种方法，从而直接化成了关于z的一元函数定积分。注意点根据具体情况，也可作垂直于Oy轴或Ox轴的平面去截割立体。仅是x（y）的表达式或是常数，而D的面积有公式可计算煮面坐标变换（多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底锅）方法概要由直角坐标与柱面坐标可知，是点在Oxy平面上投影点的极坐标，z是原直角坐标系中的竖坐标，如图6-27.此时设平行于Oz轴的直线与区域V的边界至多只有两个交点，设V在Oxy平面上的投影区域为。区域用不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成于是立体区域V可表示为从而 图形示例适用范围若立体在Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有），可用柱面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用）注意点在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积r，最后积。煮面坐标系变换实质上是投影法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r因子球面坐标变换方法概要由直角坐标和球面坐标可知。就是点在Oxy平面上投影点的极坐标中的，此时 1、找出立体V在Oxy平面上投影区域的极角的范围。即立体V在两半平面ZOA与ZOB之间，即立体V中的任意一点满足。2、在之间过极点作射线，该射线与Oz轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。若对2，B之任一Q值。对应的射线与OZ轴组成的半平面与立体V截面的圆形相同。我们一般选取特殊的Q值如Q=，此时得到的截面，我们观察更清楚。找出该区域的范围，即（一般情况下，且）为常数）。过极点O在该截面上作射线与截面的边界交于两点。极径小的交点落在下曲面，极径大的交点落在上曲面，即截面上任意一点满足，,如图6-28.从而在球面坐标立体区域V可表示为 于是 图形示例适用范围若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主体，（或被积函数中含有）。此时用球面坐标系下的计算。注意点球面坐标系下，总是先积，再积，最后积，而且在大多数情况下，为常数。不要忘记因子哦。3、 第一类曲线积分概念的引入：第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线表示成参数方程，并且找出参数的区间即可化成t的一元函数定积分。总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为（1）若则（2）若则（3）若则（4）若即则(5)另外也可以表示为r的函数，但是这种方法不常用以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量若曲面，则 若曲面则这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的5.点函数积分的基本性质设在有界闭区域上都可积，有性质1 性质2 （k为常数）。上面两条性质称为线性运算法则。性质3 ，其中，且与无公共内点。性质4 若，则若，且连续，则性质5 若，则若，且连续，则性质6 性质7 若在积分区域上的最大值为M，最小值为m，则性质8（中值定理） 若在有界闭区域上连续，则至少有一点，使得称为函数在上的平均值。（对于中值定理的理解就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）6.对称区域上点函数的积分（1）设，或曲线或曲面或立体。（i）若，且关于Oxy平面对称，则（ii）若，且关于Oyz平面对称，则（iii）若，且关于Ozx平面对称，则简单地说，若关于坐标平面对称，当关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0；是偶函数时，为平面一侧区域积分的2倍。若关于坐标轴对称，当关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；是偶函数时，则为该轴一侧区域积分的2倍。同理可得，若关于z轴对称，当时，积分为0；当时，积分为z轴一侧区域上积分的2倍。若关于原点对称，当时，积分为0；当时，积分为原点一侧区域上积分的2倍6.应用（求重心（质心、形心），求转动惯量，求引力） 重心公式设密度函数为连续，求空间形体的重心坐标（是曲线、曲面或空间立体），设的重心坐标为同理 是的重心。特别常数时，其中M是的质量，是的大小。当常数时，关于Oxy平面对称知，z关于z是奇函数，有，则同理，当常数时，关于Ozx平面对称，则当常数时，关于Ozy平面对称，则同理，当（是曲线或平面区域），设密度函数连续，设重心坐标为有 当常数时， 常数，关于x轴对称，有关于