等差数列与等比数列的综合问题

等差数列与等比数列的综合问题 高中数学等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列an的性质（1）am=ak+（mk）d，d=.（2）若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等差数列.（6）若数列an的项数为2n（nN*），则S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列an的项数为2n1（nN*），则S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an为中间项）.2.等比数列an的性质（1）am=akqmk.（2）若数列an是等比数列，则数列1an（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q2的等比数列，则1an2bn（1、2为常数）也是等比数列，公比为qq2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，则M、N、P也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为ad，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a3d，ad，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，aq，aq3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、qR）.当p=0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.点击双基1.等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意自然数n，都有an+1an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0 B.3 C.3 D.13.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是A. B. C. D.4.在等差数列an中，当ar=as（rs）时，数列an必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、s（rs），当ar=as时，非常数列an的一个例子是_.5.等差数列an中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.【典型例题】例1 已知an是等比数列，a1=2，a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.例2 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn.例3 在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.【经典练习】1.在等比数列an中，a5+a6=a（a0），a15+a16=b，则a25+a26的值是A. B. C. D.2.公差不为零的等差数列an的第二、三及第六项构成等比数列，则=_.3.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是_.4.已知数列an中，a1=且对任意非零自然数n都有an+1=an+（）n+1.数列bn对任意非零自然数n都有bn=an+1an.（1）求证:数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式.5.设an为等差bn为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出an及bn的前10项的和S10及T10.6.已知数列an是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=anxn（xR），求数列bn前n项和的公式.7.数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（nN*）.（1）求数列an的通项公式.（2）设bn=（nN*），Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.8.已知数列an的各项均为正整数，且满足an+1=an22nan+2（nN*），又a5=11.（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出an的通项公式（不要求证明）；（2）设bn=11an，Sn=b1+b2+bn，Sn=|b1|+|b2|+|bn|，求的值.9.设f（k）是满足不等式log2x+log2（32k1x）2k1（kN*）的自然数x的个数.（1）求f（k）的