§22.2一元二次方程的解法.doc

22.2一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x24； （2）x210;概括对于第（1）个方程，有这样的解法：方程x24，意味着x是4的平方根，所以,即x=2.这种方法叫做直接开平方法.对于第（2）个方程，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x1）（x1）0，必有x10，或x10,分别解这两个一元一次方程，得x11，x21.这种方法叫做因式分解法.思考（1） 方程x24能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2） 方程x210能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程x29000.例1 解下列方程：（1）x220; （2）16x2250.解（1）移项，得x22.直接开平方，得.所以原方程的解是，.（2）移项，得16x225.方程两边都除以16，得x2.直接开平方，得x.所以原方程的解是，.例2 解下列方程：（1）3x22x=0； （2）x23x.解（1）方程左边分解因式，得x(3x2)=0.所以 x0，或3x20.原方程的解是 x10，x2.（2）原方程即x23x=0.方程左边分解因式，得x(x3)0.所以 x0，或x30,原方程的解是 x10，x23.练习1. 解下列方程：（1）x2169；（2）45x20；（3）12y2250； （4）x22x0；（5）（t2）（t+1）=0； （6）x（x1）5x0.2. 小明在解方程x23x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？例3解下列方程：（1）（x1）240；（2）12（2x）290.分析两个方程都可以转化为2a的形式，从而用直接开平方法求解.解（1）原方程可以变形为（x1）24，直接开平方，得x12.所以原方程的解是x11，x23.（3） 原方程可以变形为_，有_.所以原方程的解是x1_，x2_.读一读小张和小林一起解方程x（3x2）6(3x2)0.小张将方程左边分解因式，得(3x2)(x6)0,所以 3x20,或x60.方程的两个解为x1，x26.小林的解法是这样的：移项，得x(3x2)6(3x2),方程两边都除以（3x+2），得x6.小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）（x2）2160； （2）(x1)2180；（3）(13x)21； （4）(2x3)2250.例4解下列方程：（1） x22x5；（2） x24x30.思考能否经过适当变形，将它们转化为2a的形式，应用直接开方法求解？解（1）原方程化为x22x16，_,_,_.（2）原方程化为x24x434_,_,_.归纳上面，我们把方程x24x30变形为(x2)21，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例5用配方法解下列方程：（1）x26x70；（2）x23x10.解（1）移项，得x26x7.方程左边配方，得x22x332732，即 （x3）216.所以 x34.原方程的解是x17，x21.（2）移项，得x23x1.方程左边配方，得x22x（）21()2，即 （x）2.所以 x.原方程的解是： x1，x2，练习：1.填空：（1）x26x（ ）（x ）2；（2）x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；（4）4x26x（ ）4（x ）2（2x ）2.2.用配方法解方程：（1）x28x20 （2）x25 x60.试一试用配方法解方程x2pxq0(p24q0).思 考如何用配方法解下列方程？(1)4x212x10; (2)3x22x30.讨 论请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探 索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0).因为a0，方程两边都除以a，得x2x0.移项，得 x2x，配方，得 x22x()2()2,即 (x) 2.因为 a0，所以4 a20，当b24 ac0时，直接开平方，得 x.所以 x-,即 x.由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：x( b24 ac0)利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.例6解下列方程:(1)2 x2x60； (2) x24x2；(3)5x24x120； (4)4x24x1018x.解(1)这里a2，b1，c-6，b24ac1242(-6) 14849所以x，即原方程的解是 x1-2，x2.(2)将方程化为一般式，得x24x20.因为 b24ac24，所以 x-2.原方程的解是 x1-2，x2-2.(3)因为 b24ac256，所以 x原方程的解是 x1-，x22.(4)整理，得4x212x90.因为 b24ac0，所以 x1x2-.练 习应用方程公式解方程：(1) x26x10； (2)2x2x6；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).思考根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.应用现在我们来解决22.1的问题1：x(x10) 900，x210x9000，x-55，x155，x2-55.这两个都是所列方程的解，但负数根x1不符合题意，应舍去.所以符合题意的解是x5525.4，x1035.4，因此绿地的宽和长应分别约为25.4米和35.4米.例7如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.分析设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.解设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得(602x) (402x) 800.请同学们自己解一下这个方程，并讨论它的解是否符合题意.在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.练习1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）2. 竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式hv0tgt2，其中重力加速g以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v020米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？例8某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）思考原价和现在的价格都没有具体的数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流.解设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得(1x) 2解这个方程，得x由于降价的百分率不可能大于1，所以x不符合题意，因此符合本题要求的x为29.3%.答：每次降价的百分率为29.3%.练习1. 小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）2. 市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.习题22.21. 解下列方程（1）2x260；（2）274x2；（3）3x24x；（4）x（x1）3（x1）0；（5）（x1）22；（6）3（x5）22（5x）.2. 解下列方程（1）（2x1）210；（2）（x3）22；（3）x22x80； （4）3x24x1；（5）x（3x2）6x20；（6）（2x3）2x2.3. 当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x26的值等于21；（2）3x26的值与x2的值相等.4. 用适当的方法解下列方程：（1）3x24x2x；（2）（x3）21；（3）x2(1)x0；（4）x（x6）2（x8）；（5）（x1）（x1）；（6）x（x8）16；（7）（x2）（x5）1；（8）（2x1）22（2x1）.5. 已知y12x27x1，y26x2，当x取何值时y1y2？6. 已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.7. 学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）（第7题）8. 某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.9. 学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到（x）2.（1）发现只有当b24ac0时，才能直接开平方，得.也就是说，一元二次方程ax2bxc0（a0）只有当系数a、b、c满足条件b24ac0时才有实数根.观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根； 当b24ac0时，方程有两个相等的实数要x1x2；