数学勾股定理.doc

勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a²+b²=c²内容勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。 勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 勾股定理指出： 直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方a2b2c2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。 我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了九章算术中。 勾股数组满足勾股定理方程 a2b2c2;的正整 勾股定理数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。 勾股数组的通式： a=M2-N2 b=M²N² c=M2+N2 (MN,M,N为正整数） 推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。 编辑本段勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A2+B2=C2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 古埃及人用这样的方法画直角如果三角形的三条边A，B，C满足A2+B2=C2;，还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 勾股定理的来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 毕达哥拉斯在中国，周髀算经记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明1。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 常用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有关勾股定理书籍 数学原理人民教育出版社 探究勾股定理同济大学出版社 优因培教数学北京大学出版社 勾股书籍 新世纪出版社 九章算术一书 优因培揭秘勾股定理江西教育出版社 几何原本 （原著：欧几里得）人民日报出版社 毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 毕达哥拉斯树的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。 利用不等式A²+B²2AB可以证明下面的结论： 三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。 常见的勾股数顺序：勾，股，弦 3，4，5 6，8，10 5，12，13 7，24，25 8，15，17 9，40，41 勾、股、弦的比例1：3：2 编辑本段最早的勾股定理应用 从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 a=l2-（l-h)2=52-(5-1)2=3米，三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。 编辑本段周髀算经中勾股定理的公式与证明周髀算经算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名周髀，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名周髀算经。 首先，周髀算经中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（周髀算经上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在周髀算经上卷一2 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 周髀算经证明步骤“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “两矩共长二十有五，是谓积矩。”：此为验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 注意： 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。 “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐3、李国伟4、李继闵5、曲安京1等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。 由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。 其实不然，摘录赵爽注释周髀算经时所做的句股圆方图2“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。” 赵爽弦图注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。 下为赵爽证明 青朱出入图三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有A2+B2=C2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（A2）的I移至I，青方的II移至II，III移至III，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（C2 ）由此便可证得A2+B2=C2 编辑本段伽菲尔德证明勾股定理的故事1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下: 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a2+b2=c2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。 编辑本段勾股定理的多种证明方法这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 毕达哥拉斯命题）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。 证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a2+b2=c2 证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点 F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90, ABG +CBJ= 90, ABC= 90, G,B,I,J在同一直线上， a2+b2=c2 证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CLDE， 交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于， GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 即a2+b2=c2 证法5(欧几里得的证法)几何原本中的证明 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 CAB和BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 CBD和FBA皆为直角，所以ABD等于FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2。 把这两个结果相加， AB2+ AC2; = BDBK + KLKC 。由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于CBDE是个正方形，因此AB2 + AC2= BC2。 此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的 证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）如图1，RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下： 1）（BD）2;=ADDC， （2）（AB）2;=ADAC ， （3）（BC）2;=CDAC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）2;， 图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。 证法七（赵爽弦图）在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2) 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。 1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於汉学研究, 1989年第7卷第1期, 255-281页。 3. 李国伟: 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於第二届科学史研讨会汇刊, 台湾, 1991年7月， 227-234页。 4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於自然科学史研究,1993年第12卷第1期,29-41页 。 5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於数学传播20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页 证法8（达芬奇的证法） 达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EBCF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A和角D都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以BAD=FAD=CDA=EDA=45，那么很明显，图三中角A和角D都是直角。证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OFOE 第三张纸片中多边形ABCDEF的面积S2=S正方形BCEF+2CDE=EF2+CDDE因为S1=S2 所以OF2+OE2+OFOE=EF2+CDDE又因为CD=CD=OE,DE=AF=OF所以OFOE=CDDE 则OF2+OE2=EF2因为EF=EF所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证 编辑本段习题及答案将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A,利用阴影部分面积完成勾股定理的证明.ACB=90,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a2+b2=c2. 答案 证明：作ABCABC使点A的对应点A在BC上，连接AA 、BB， 延长BA交AB于点M 。 ABC是由ABC旋转所得 RtABCRtABC ABC=ABC 延长BA交AB于点M 则ABC+BAC=90 而BAC=MAB（对顶角相等） MBA+MAB=90 BMAB RtABCRtABM AB/AB=AM/AC 即(a-b)/c=AM/b AM=(a-b)b/c SABB=(1/2)ABBM=(1/2)ABBA+AM =(1/2)cc+(a-b)b/c =(1/2)c2+(1/2)(a-b)b =(1/2)c2+ab-b2 SBAB=(1/2)ABBC=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a2-ab) 而SABB=2SABC+SBAB (1/2)c2+ab-b2=2(1/2)ab+(1/2)(a2-ab) 则c2+ab-b2=2ab+a2-ab a2+b2=c2 编辑本段勾股数定义介绍观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 根据的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 编辑本段直角三角形与勾股定理例一设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。 例：已知在ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1)，求证：C=90。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26等。 例二再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数，且两个自然数的和恰是短直角边的平方。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 编辑本段掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便题目1直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目2已知a2+b2=c2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+bc （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a2=c2-b2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a2=X*Y,(XY,aY) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m2,所以Y=n*m2 （4） 又（3）式可知a2=X*n*m2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a2=Y*n*m2 （6），X=n*m2,且