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191网校高考辅导资料-高中物理“机械能”一、功1、功的意义：反映能量转化量度的物理量。2、功的大小：W=Fscos3、讨论：各量的物理意义：F为恒力（大小、方向均不变）。s为力的作用点发生的位移。为力F与位移s的夹角。可分以下几种情况：当=0时，cos=1，W=Fs，所以，初中的功的计算公式是高中的一个特例。当00，W0，力对物体做正功。当=900时，cos=0，W=0，力对物体不做功。当9001800时，cos0，力对物体做负功。一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。大小不变的力所做功的计算；F为变力时，又可分为二种情况。一是变力的大小不变，方向不断改变。此种情况我们可以通过分割求和的物理思想方法来求变力的功。把物体通过的位移分割成无限多个小段，在每一小段中，由于位移很小，力的方向可以看作不变，所以在这一小段中，变力可以看成“恒力”了。那么我们可以通过功的计算公式来计算每一小段中“恒力”做的功。最后将这无限多的小段中“恒力”做的功累加起来，就是这一情况下的变力做的功。计算时由于力的大小不变，在累加时可以提出来，剩下的各小段累加得到的结果就等于物体通过的总路程。所以，当力的大小不变，方向不断改变时，我们可以通过力与物体通过的路程以及它们的夹角的乘积来计算这一情况下的大小不变的力所做功的问题。当力的大小也发生变化时，一般需要通过动能定理来解决。详见后面的动能定理部分。功是标量，但有正负。这里的正负不表示方向，只表示力对物体做功还是物体克服力做功。下面通过以下一个例题，看看对功的概念掌握得如何。370F600RABO例1、如图所示，一质量m=2.0kg的物体从半径为R=5.0m的圆弧的A端在拉力作用下沿圆弧运动到B端。拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成370角。物体与圆弧面的动摩擦因素为0.2。圆弧所对应的圆心角为600，BO边为竖直方向。求这一过程中：拉力F做的功。重力mg做的功。圆弧面对物体的支持力N做的功。圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。解：由于拉力F是大小部变，方向时刻改变（方向始终与物体在该点的切线成370角），是一个变力。我们可以用“分割求和”的思想方法得出：WF=FRCOS370=20J重力mg做的功：WG=mgR（1-COS600）=50J圆弧面对物体的支持力N做的功：由于支持力N始终与物体运动方向垂直，所以支持力N不做功：WN=0圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功，由于摩擦力不仅方向时刻改变，而且大小也在时刻改变，所以不能用功的计算式来计算功。4一般变力做功问题对方向不变，大小随位移发生线性变化（即力与位移成一次函数关系）的力做功问题，我们可以通过平均力来计算这种变力的功。对方向和大小均发生变化的力所做功的计算，我们只能通过动能定理来进行计算。应该说动能定理是解决变力做功问题的一种基本方法。a图8-1-2例题2、面积很大的水池，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的1/2，质量为m。求（1）现用力将木块缓慢地压向池底，从开始到木块恰好完全没入水中的过程中该力做的功。（2）现用力迅速将木块压入水中，当木块恰好完全没入水中时，木块的速度为v=则该力做的功又为多少？ 分析：该题是变力做功问题。对变力做功问题我们可以通过平均力、动能定理和功能关系等方法处理。Fxmg-mga01/2a图8-1-3 解：（1）因水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深的变化。由于木块缓慢下压，所以当木块下表面压入水面下x深时，其压力为： F=水ga2xmg（x从1/2aa）。所以压力随着深度h的增加按线性变化，刚浸没时 F=水ga3mg=mg，变化规律如图2-2-2所示，所以可用平均力来计算功，其平均力为F=（0mg）/2=mg/2。则压力所做的功为w=Fx=1/2mg1/2a =mga/4。 （2）当木块迅速下压时，压力已不时随深度x按线性规律变化，已不能用平均力来计算功了，但可用动能定理求解。先求浮力做的功，因不论木块做何种性质的运动，浮力始终随深度x作线性变化，所以 w浮=F浮1/2a=（水ga2a/2水ga3）/21/2a=3/4mga。 设压力做的功为w则：wmga/2 w浮=1/2mv2。 所以w=3/4mga1/2mga1/2mv2=3/4mga 该题还可以用木块的势能减少、动能增加、水势能的增加与压力做的功，根据功能原理求出结果。5、不同力做功的特点 重力、弹力、电场力等与势能相联系的力，做功与具体的路径无关，仅由物体的始末位置决定，功的大小也可由物体势能的增减来表示，即WEp。 滑动摩擦力、空气阻力等做功与具体的路径有关。当这些力大小不变时，在曲线运动或往返式直线运动中，可以通过“分割求和”的思想方法得出功的大小等于力与路程的乘积。对摩擦产生的热量，可以通过Q=fs相或由能量守恒计算。二、功率1、功率的意义：反映力对物体做功快慢的物理量。2、功率的定义：PW/t3、讨论：平均功率：根据功率的定义式PW/t求得的功率是t时间内的平均功率。瞬时功率：由功率的定义式及功的计算公式很容易得出功率的另一种计算式PFv。对这个式子我们必须掌握以下几点：一是当v为平均速度时，求得的功率是平均功率；当v为瞬时速度时，求得的功率是瞬时功率。二是运用这个式子时F与v的方向必须在同一方向上，当不在同一方向上时可将v沿F方向和垂直于F方向分解，然后再进行计算。例题3、hm一质量为m=1.0kg的物体从高为h=0.8m的光滑斜面顶端静止开始下滑。斜面倾角为370，如图所示。求： 物体从斜面顶端滑至底端的过程中重力的功率。物体滑到斜面底端的瞬时重力的功率。解：物体从斜面顶端滑至底端的过程中重力的功率是平均功率。我们可以通过用平均速度求平均功率，也可以用重力做的功跟所用时间的比值来求平均功率。这过程中重力做的功为WG=mgh=8J。运动时间为t=s，所以重力的功率是平均功率为PW/t=12w。物体滑到斜面底端的瞬时重力的功率是瞬时功率。物体滑到斜面底端的瞬时速度为v=4m/s。而v与mg的夹角为530，所以PFv=mgvcos530=24w。4、交通运输工具中的功率问题现以汽车为例简单分析两种典型的起动过程中的功率问题。汽车从静止开始以匀加速起动，然后变加速，最后达到最大速度。在匀加速过程中设汽车的质量为m，加速度为a，牵引力为F，阻力为f（不变），则F=fma。所以P=Fv=（fma）v，随着v的不断增加P也随之增大。当P增大到P=P额时匀加速阶段结束，然后减小a，汽车作变加速运动，速度继续增大，直到a=0时，汽车达到最大速度vm=P/f。汽车从静止开始以恒定（额定）功率起动加速，最后达到最大速度。在这一加速过程中P恒=Fv=（fma）v，所以随着v的增大a不断减小，直至为零，所以是一个变加速过程。当a=0时汽车达到最大速度vm=P恒/f。（有兴趣的读者可以把这两个运动过程在速度图像中描绘出来，以加深理解）例题4、汽车发动机的额定牵引功率为60kw，汽车质量为5.0103kg，汽车在水平路面上行驶，阻力是车重的0.1倍，试求：汽车从静止开始，保持0.50m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程的最大速度是多大？能维持多长的时间？汽车保持以额定功率起动后，要求在100m内达到最大速度，其加速时间为多大？解：汽车到达匀加速的最后时刻，P=P额，由P=Fv=（f+ma）v可得：v=8m/s，能维持的时间t=16s汽车保持以额定功率起动，始终做变速运动，所以不能用匀变速运动规律求解了，只能用能量的观点求解。汽车能达到的最大速度为：vm=12m/s，由动能定理可得：Pt-fs=mv2-0，代入数据可得：t=14.3s。三、动能定理1、动能定理的表达式：由牛顿第二定律及运动学公式可推出动能定理的表达式：W=1/2mv221/2mv22 或W=EK2EK1。式中W为合外力的功，也等于各外做的总功。式中EK1、EK2分别表示始、末状态时的初动能和末动能。2、动能定理的意义：合外力对物体做的功等于物体的动能的变化。注意合外力的功和总功的关系：可以证明合外力对物体做的功等于物体所受各个外力做功的代数和(总功)。几个力对物体做的总功的计算有两种途径：一是可以先求出这几个力的合外力(矢量运算)再求合外力的功。二是可以先求出这几个力各自对物体做的功再求总功(代数运算)。3、动能定理解题的基本步骤 选取研究对象，明确它的运动过程。 分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力的作用？每个力是否做功？做正功还是做负功？做了多少功？然后求出各力做功的代数和。 确定物体运动过程中的始、末状态及其动能。 根据动能定理列出方程式求解，必要时可列出一些辅助方程联立求解。4、用动能定理解题应注意的问题：选择应用动能定理解题的依据：什么样的题目可以应用动能定理求解？这是一个很重要的问题，它需要在解题的过程中不断地总结，这样才能提高解题的能力。一般来说选择应用动能定理解题的依据是由题目中的已知条件和所求量所决定的。因为动能定理的表达式中只涉及到力F、位移S和速度v，所以，如果题目中的已知条件和所求量只给出力F、位移S和速度v，而不出现时间t和加速度a等，则一般可考虑用动能定理求解。例题5、如图所示，足够长的斜面的倾角为，一质量为m的小物体以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑动，物体与斜面的动摩擦因素为，求V0小物体沿斜面上升的最大高度h。小物体能沿斜面上升到最大高度所用的时间t。解：题目中的已知条件和所求量只给出力F、位移S和速度v，所以可以用动能定理求解。设小物体能上升的最大高度为h，由动能定理可得：-mgh-mgcos=0-mv02可得h=小物体能沿斜面上升到最大高度所用的时间就不能用动能定理求解了，但可以用牛顿运动定律和运动学公式求解，也可以用动量定理求解。读者可以自行求解。用动能定理求解往往比用牛顿运动定律和运动学公式求解简单、方便。0m，-qxOEx图2-2-3一般来说，能用动能定理求解的问题可以用一式便可求得结果，而用牛顿运动定律和运动学公式求解需要列好多式子联立求解才行。 例6、质量为m、带有电荷-q的小物体，可在水平轨道ox上运动。O端有与一轨道垂直的固定墙，轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿ox轴正向，如图2-2-3所示。小物体以初速度v0从x0点沿ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f的作用， 且fqE；设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s。解法1：该小物体的运动过程较为复杂，但来回运动受到的力为不同的恒力，最终将停留在0点，故可考虑用牛顿运动定律和运动学公式求解。 如右图2-2-4，m向右运动是的加速度为a右=（qEf）/m；m向左运动时的加速度为a左=（qEf）/m 则 s1=vo2/2a右=mv02/2（qE+f），s2=s1+x0=x0+mv02/2（qE+f） xoS1S2S3S4x图2-2-4s3=v22/2a右=2a左s2/2a右=（qE-f）s2/（qE+f），s4=v32/2a右=2a左s3/2a右=（qE-f）s3/（qE+f）， 同理可得 sn=（qE-f）sn-1/（qE+f） 所以 s=s1+s2+2s3+2s4+2sn= x0+mv02/（qE+f）+2（s3+s4+sn）。 由无穷递缩等比数列求和公式得 s=xo+mv02/（2E+f）+2s3/（1-q）=（2qExo+mv02）/2f。 式中q为公比： q=1-（qE-f）/（qE+f）解法2：由于题目中的已知条件和所求量只涉及F、s、v，故可考虑用动能定理求解。 对小物体的整个运动过程应用动能定理可得：qEx0 - fs=0mv02/2。所以s=（2qEx0+mv02）/2。 通过以上两种解法，我们可以知道，应用动能定理求解比应用牛顿第二定律及运动学公式求解要简便得多。但是，怎样的题目能应用动能定理求解呢？一般来说当题目中描述的已知量和所求量只涉及到力、位移和速度，而不涉及到加速度和时间时一般可以考虑用动能定理求解，因为动能定理的表达式中只出现力、位移和速度。用动能定理可以求出一般变力所做的功前面提到过，动能定理是解决变力做功问题的一种基本方法。例题7、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上,Q端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功.解：车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C的过程中，物体向上的运动是一个变加速运动，所以绳子Q端对物体的拉力不是恒力，而是变力，所以不能直接用功的公式求解。由于知道车的速度以及绳子P端与Q端的速度关系，我们可以用动能定理求解。设绳的P端到达B处时,左边绳与水平地面所成夹角为,物体从井底上升的高度为h,速度为v,所求的功为W,则由动能定理可得：W mgh =mv2 因绳总长不变,所以:h=-H 因绳总长不变，可由绳子两端的速度关系可得：v=vBcos 将、两式代入式,得:W =mv2Bcos2+mg（-1）H因为： = 可得： W =mv2B+mg（-1）H。四、机械能守恒定律1、机械能守恒定律的表达式：以自由落体运动为例可以证明机械能守恒律以及得出机械能守恒定律的表达式：mv22+mgh2= mv12+mgh1或者： Ek2+Ep2=Ek1+Ep1上式表示动能和重力势能之和即总的机械能保持不变。机械能守恒定律的表达式还有一下两种：EP=EK。即：系统势能的增加量等于系统动能的减少量。E增=E减。即将系统分为机械能增加的分系统和机械能减少的分系统，即某一分系统机械能的增加量必定等于另一分系统机械能的减少量。这两种表达式研究的是机械能的变化量，所以无需选择零势能面，有些问题利用它们解题显得更为方便。2、机械能守恒定律的内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。如果只有弹力做功，物体的动能和弹性势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，即机械能守恒。它是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。3、机械能守恒的条件：根据定律的内容，系统的机械能是否守恒可以从下述两个方面去分析：一是从做功的角度来分析。即对某一系统只有重力或弹力做功，其他力不做功，或其他力做功的代数和等于零，机械能守恒。二是从能量转化的角度来分析，即对某一系统，只有系统内部的动能和势能之间相互转化或转移，系统内不与系统外发生机械能转移，也无机械能与其他形式的能之间的转化，机械能守恒。4、机械能守恒定律的应用：机械能守恒定律为我们分析力学现象提供了一条途径。用能量的观点分析力学现象，有时能简捷地得出结论。应用机械能守恒定律解题的一般步骤：根据题意，选取研究对象（系统）； 明确研究对象的运动过程，分析系统中各物体在运动过程中的受力情况和各力的做功情况，判断是否满足机械能守恒的条件； 恰当地选取零势能面，确定始末两个状态及其始末状态的总机械能； 根据机械能守恒定律列方程求解。用机械能守恒定律解题应注意的问题：要仔细判别守恒条件和选取研究对象OA2mBm图2-2-5例题8、如图2-2-5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是： AA球到达最底点时的速度为零； BA求机械能的减少量等于B球机械能的增加量； CB球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度； D当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度。 分析：对三角支架和A、B球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律。支架向左摆动时A球的机械能减少，B球的机械能增加。根据机械能守恒定律，B、D是正确的。 设三角支架的边长为l，当A球摆到最底点时，B球向左到达与A球开始运动时的高度。因摆动中A、B两球的角速度相同，由v=l可知，A、B两球的线速度也相同，设为v 。 由机械能守恒定律得2mglcos60 mglcos60=2mv2+mv2。 解出v=0 由于B球到达与A球开始运动时的高度时，A、B两球都有一定的速度v，两球还要继续向左摆动，使B球所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度。所以选项A错，C正确。答案为BCD。本题是A球与B球组成的系统的机械能守恒。而A球或B球各自的机械能不守恒。要选用机械能守恒定律的适当表达式列式求解对系统的机械能守恒，可根据题意采用适当的守恒形式。如上题中判断B、D选项时，可采用系统中一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量的形式简便些。在判断A、C选项时，可采用系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量的形式来得简便。在采用上述两种形式时，可不必选择零势能面。一般在始末状态的总机械能的表达式不易简单写出，而机械能的增加量或减少量又比较明显时，就可用这些形式求解更方便些。mmmCDABOll例题9、如图所示轻质长绳水平地跨在相距2l的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上的O点，O点与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别悬挂质量也是m的物块。先托住O点物块，使绳子处于水平拉直状态，静止释放物块。求：物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H。mmmCDABOllhmm解：当物块所受到的合外力为零时，其加速度为零。设此时物块下降的距离是h，由于三个物块的质量相等，所以此时悬点所受的三个拉力的方向互成夹角2=1200。由图可知：h=ltan300=l。 物块在下落过程中先加速后减速所以当物块加速度为零时，速度达到最大。如果把三个物体看作一个系统，则系统只有重力做功，机械能守恒。该题中始末状态的总机械能的表达式不易简单写出，而机械能的增加量或减少量又比较明显，所以用系统势能的减少量等于系统动能的增加量求解来得方便。-mgh +2mg（-l）=mvm+2mvc 由绳子两端的速度