美妙的雪花曲线.doc

美妙的雪花曲线历代文人大抵都爱雪，古今中外留下了不少咏雪的佳作。在这些作品中，或歌咏“千里冰封，万里雪飘”的壮丽景色，或颂扬雪花洁白晶莹，纯净透明的高雅品质，却很少有人专写雪花的形状的。即使偶尔提及，也不过一笔带过。如唐人高骈的对雪诗，在开头稍为点到了一下雪花的形状，便笔锋一转，写别的景色去了：六出飞花入户时，坐看青竹变琼枝。如今好上高楼望，盖尽人间恶路歧。诗人发现六角形的雪花飘进了窗户，引起他极大的兴致，感到格外新奇。凝视着户外一竿竿翠竹顷刻之间都变成了琼枝玉树。接着笔锋一转，从自然景色联想到社会现实。那些艰难险恶的人生歧路，也能像地上的路一样被纯洁的雪花盖掉吗？我真想登高望远，看看那些人间歧路，怎样被白雪铺盖成一马平川的阳光大道了。如果说文人喜爱雪花的品质，雪花给诗人以灵感，那么数学家则对雪花的形状情有独钟，它给数学家以丰富的联想，并给一门崭新的学科混沌中的分形几何的诞生提供了奠基的素材。什么是分形？粗略地说，就是一些杂乱无章、极不规则的形状，如云彩、山川、海岸等的曲线，都可以看成一种分形。分形几何是混沌的一个分支，如果说，混沌还过于抽象，难以理解和想象，那么，分形则是一些非常具体的混沌。所以有人说：“分形是混沌的签名。”精确的数学自然要给分形较为明确的界定。它把分形的主要特征，通过具有“分数维”和具有“自相似性”来刻划。那么什么叫做“分数维”和“自相似性”呢？先谈维数。我们知道，在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的。换言之，确定直线上一个点的位置需要一个坐标，确定平面上一个点的位置需要两个坐标，确定空间中一个点的位置需要三个坐标。用坐标的个数来确定几何体的维数，维数总是整数。但是1890年，意大利数学家皮亚诺(Peano，18581932)曾经指出：在一个正方形中，一个点连续移动，当点经过正方形内及边界上每一点时，这个点移动的轨迹最终填满了整个正方形，它应该是二维的。但另一方面，从曲线的角度看，作为平面上的一条曲线，它又应该是一维的。这就产生了矛盾。为了克服这个矛盾，有必要重新考虑“维”的意义。再谈“自相似性”。瑞典数学家科赫发明了一种所谓“三分法科赫曲线”，这种曲线是这样构造出来的：开始，取一条长度为1单位的线段，记为L(1)=1，在图65中用n=0标示。然后把这条线段分为三等分，以中间的一份为底边向上作正三角形，并去掉作底边的中间这一份，就成为图65中标示为n=1的那条曲线，按类似的方法把n=1中的4节线段的每一节都分为三等分，以中间的一份为底边作正三角形，并去掉底边，便得到标示为n=2的一条曲线。这的数字n为曲线产生的阶段。很明显：科赫曲线的一个重要性质是它的“自相似性”：任意从曲线中取一小段,将它放大以后,和曲线的整体形状是一样的。换句话说，曲线的任何一个部分都是整体的缩影。例如，在n=5的曲线中,就称为曲线的自相似性。利用自相似性，可以从一个新的角度来重新考虑维的意义。如图66，一条线段，把它分成n等分，就可得出n1个与原来线段形状相同的小线段。线段是1维的。一个正方形，将它的各边n等分，连结相应的分点可得到n2个小正方形，每一个小正方形都与原来的正方形形状相同。正方形是二维的。一个立方体，将它的各棱分成n等分，连结相应的分点可得到n3个小立方体，每一个小立方体都与原来的立方体形状相同。立方体是三维的。如果从这一角度来理解维的概念，我们可以把它推广：如果把一个物体的边长分成n个相等的小线段，结果可得到与原物形状相同的m个小物体。把m写成以n为底的指数形式：m=nd(或d=1gm/1gn) (1)则指数d=1gm/1gn称为这个物体的维数。由于1gm/1gn不一定是整数，因此就会出现维数为分数的情况。以科赫的三分曲线为例，把它的边分成3等分后，产生了4个与原来曲线形状相同的小曲线，所以它的维数是d=1g4/1g31.26。维数是分数的几何图形叫做分形，研究分形的一个数学分支称为分形几何。本世纪以来或更早一些，数学家们陆续创造出了不少分形，它们都成为后来发展分形几何的基础。分形几何本身则成混沌科学的重要分支。现在我们来介绍雪花曲线。它是最早创造的也是最有趣的几种简单分形之一。科赫是于1904年利用他发明的“三分法”创造出美丽的雪花曲线的。将一个正三角形(图66中记为(1)的每一边三等分，然后以居中的那一段为底边向外作正三角形并且把底边去掉，便得到第一条雪花曲线(2)，它是一个六角形。再将六角形(2)的每一边三等分，又以中间的一段为底边向外作正三角形并把底边去掉，便得到第二条雪花曲线(3)。不断地重复上述操作，便得到如图67中的一个雪花曲线系列。如果是向内作正三角形，则相应地得到图67的(4)，(5)等所标示的另一系列的雪花曲线，称之为反雪花曲线。让我们给出雪花曲线的周长和所围成的面积的计算公式：设