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文档简介

美妙的雪花曲线历代文人大抵都爱雪,古今中外留下了不少咏雪的佳作。在这些作品中,或歌咏“千里冰封,万里雪飘”的壮丽景色,或颂扬雪花洁白晶莹,纯净透明的高雅品质,却很少有人专写雪花的形状的。即使偶尔提及,也不过一笔带过。如唐人高骈的对雪诗,在开头稍为点到了一下雪花的形状,便笔锋一转,写别的景色去了:六出飞花入户时,坐看青竹变琼枝。如今好上高楼望,盖尽人间恶路歧。诗人发现六角形的雪花飘进了窗户,引起他极大的兴致,感到格外新奇。凝视着户外一竿竿翠竹顷刻之间都变成了琼枝玉树。接着笔锋一转,从自然景色联想到社会现实。那些艰难险恶的人生歧路,也能像地上的路一样被纯洁的雪花盖掉吗?我真想登高望远,看看那些人间歧路,怎样被白雪铺盖成一马平川的阳光大道了。如果说文人喜爱雪花的品质,雪花给诗人以灵感,那么数学家则对雪花的形状情有独钟,它给数学家以丰富的联想,并给一门崭新的学科混沌中的分形几何的诞生提供了奠基的素材。什么是分形?粗略地说,就是一些杂乱无章、极不规则的形状,如云彩、山川、海岸等的曲线,都可以看成一种分形。分形几何是混沌的一个分支,如果说,混沌还过于抽象,难以理解和想象,那么,分形则是一些非常具体的混沌。所以有人说:“分形是混沌的签名。”精确的数学自然要给分形较为明确的界定。它把分形的主要特征,通过具有“分数维”和具有“自相似性”来刻划。那么什么叫做“分数维”和“自相似性”呢?先谈维数。我们知道,在欧氏几何中,点是零维的,直线是一维的,平面是二维的,立体是三维的。换言之,确定直线上一个点的位置需要一个坐标,确定平面上一个点的位置需要两个坐标,确定空间中一个点的位置需要三个坐标。用坐标的个数来确定几何体的维数,维数总是整数。但是1890年,意大利数学家皮亚诺(Peano,18581932)曾经指出:在一个正方形中,一个点连续移动,当点经过正方形内及边界上每一点时,这个点移动的轨迹最终填满了整个正方形,它应该是二维的。但另一方面,从曲线的角度看,作为平面上的一条曲线,它又应该是一维的。这就产生了矛盾。为了克服这个矛盾,有必要重新考虑“维”的意义。再谈“自相似性”。瑞典数学家科赫发明了一种所谓“三分法科赫曲线”,这种曲线是这样构造出来的:开始,取一条长度为1单位的线段,记为L(1)=1,在图65中用n=0标示。然后把这条线段分为三等分,以中间的一份为底边向上作正三角形,并去掉作底边的中间这一份,就成为图65中标示为n=1的那条曲线,按类似的方法把n=1中的4节线段的每一节都分为三等分,以中间的一份为底边作正三角形,并去掉底边,便得到标示为n=2的一条曲线。这的数字n为曲线产生的阶段。很明显:科赫曲线的一个重要性质是它的“自相似性”:任意从曲线中取一小段,将它放大以后,和曲线的整体形状是一样的。换句话说,曲线的任何一个部分都是整体的缩影。例如,在n=5的曲线中,就称为曲线的自相似性。利用自相似性,可以从一个新的角度来重新考虑维的意义。如图66,一条线段,把它分成n等分,就可得出n1个与原来线段形状相同的小线段。线段是1维的。一个正方形,将它的各边n等分,连结相应的分点可得到n2个小正方形,每一个小正方形都与原来的正方形形状相同。正方形是二维的。一个立方体,将它的各棱分成n等分,连结相应的分点可得到n3个小立方体,每一个小立方体都与原来的立方体形状相同。立方体是三维的。如果从这一角度来理解维的概念,我们可以把它推广:如果把一个物体的边长分成n个相等的小线段,结果可得到与原物形状相同的m个小物体。把m写成以n为底的指数形式:m=nd(或d=1gm/1gn) (1)则指数d=1gm/1gn称为这个物体的维数。由于1gm/1gn不一定是整数,因此就会出现维数为分数的情况。以科赫的三分曲线为例,把它的边分成3等分后,产生了4个与原来曲线形状相同的小曲线,所以它的维数是d=1g4/1g31.26。维数是分数的几何图形叫做分形,研究分形的一个数学分支称为分形几何。本世纪以来或更早一些,数学家们陆续创造出了不少分形,它们都成为后来发展分形几何的基础。分形几何本身则成混沌科学的重要分支。现在我们来介绍雪花曲线。它是最早创造的也是最有趣的几种简单分形之一。科赫是于1904年利用他发明的“三分法”创造出美丽的雪花曲线的。将一个正三角形(图66中记为(1)的每一边三等分,然后以居中的那一段为底边向外作正三角形并且把底边去掉,便得到第一条雪花曲线(2),它是一个六角形。再将六角形(2)的每一边三等分,又以中间的一段为底边向外作正三角形并把底边去掉,便得到第二条雪花曲线(3)。不断地重复上述操作,便得到如图67中的一个雪花曲线系列。如果是向内作正三角形,则相应地得到图67的(4),(5)等所标示的另一系列的雪花曲线,称之为反雪花曲线。让我们给出雪花曲线的周长和所围成的面积的计算公式:设

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