2015高考数学(人教版-文科)一轮单元评估检测：第六章-不等式、推理与证明(含2014年模拟题-含答案解析).doc

单元评估检测(六)第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q=x|xP或xQ且xPQ.若P=x|x2-3x-40,Q=x|y=log2(x2-2x-15),那么P+Q等于()A.-1,4B.(-,-14,+)C.(-3,5)D.(-,-3)-1,4(5,+)2.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abD.以上均不正确3.(2014宜昌模拟)若a0,b0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为()A.12B.1C.2D.44.(2014荆门模拟)若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是()A.|b-a+1c-b|2B.a3b+b3c+c3aa4+b4+c4C.b2acD.|b|-|a|c|-|b|5.(2013宿州模拟)如果实数x,y满足条件x-y+10,y+10,x+y+10,那么2x-y的最大值为()A.2B.1C.-2D.-36.条件p：142x16,条件q：(x+2)(x+a)0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.2B.2C.4D.239.设x,y满足约束条件3x-y-60,x-y+20,x0,y0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则a29+b24的最小值为()A.12B.1325C.1D.210.(2013随州模拟)变量x,y满足约束条件x+2y2,2x+y4,4x-y-1,则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是()A.32,9B.-32,6C.-2,3D.1,6二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)11.设a,bR,给出下列条件：a+b1;a+b=2; a+b2;a2+b22;ab1,其中能推出：“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是_.12.(2014十堰模拟)若不等式-ax-1a成立的充分条件是0x0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值是_.16.(2014黄冈模拟)已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,则1a+1b的最小值是_.17.(能力挑战题)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),定义：f(x)是函数y=f(x)的导数f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心”.请你将这一发现作为条件,则函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为_.三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(12分)已知a,b,c,dR,用分析法证明：ac+bd(a2+b2)(c2+d2)并指明等号何时成立.19.(13分)(2014天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.(1)当a=12时,求不等式f(x)1的解集.(2)若对于任意x1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.20.(13分)(2013黄山模拟)若x,y满足约束条件x+y1,x-y-1,2x-y2,(1)求目标函数z=12x-y+12的最值.(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.21.(13分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表：时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)22.(14分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx+a1x-1,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间1,+)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证：对于任意的nN*,且n1时,都有lnn12+13+1n恒成立.答案解析1.【解析】选D.由题意可知P=x|-1x4,Q=x|x5.所以P+Q=x|x5.2.【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.3.【解析】选A.由已知可得2=a+2b22ab,故2ab1,即ab12,等号成立的条件是a=2b=1.4.【解析】选B.设等差数列a,b,c的公差为d(d0),则b-a+1c-b=d+1d=|d|+1d2|d|1|d|=2,因此A成立;b2-ac=a+c22-ac=(a-c)240,因此C成立;由2b=a+c得|2b|=|a+c|c|+|a|,即|b|-|a|c|-|b|,因此D成立;对于B,当a=-1,b=-2,c=-3时,a3b+b3c+c3a=53,a4+b4+c4=98,此时B不成立.综上所述,选B.5.【解析】选B.先根据约束条件画出可行域：当直线2x-y=t过点A(0,-1)时,t取得最大值1,故答案为B.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤(1)画出可行域.(2)确定目标函数的斜率.(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.(4)平移直线,确定满足最优解的点.(5)求满足最优解的点的坐标,代入点的坐标可得解.6.【思路点拨】p是q的充分不必要条件,即pq而qp,按此判断即可.【解析】选D.由142x16,得2-22x24,即-2x4.由pq而qp可得(x+2)(x+a)0-2x4得a0,b0,所以z=ax+by在点M(4,6)处取最大值,所以4a+6b=12,即2a+3b=6.设m=a29+b24,由联立得b2-2b+2-2m=0.因为b有解,所以=4-4(2-2m)0,解得m12,故m的最小值为12,所以选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解：题目在求得2a+3b=6,设m=a29+b24后,联立得.m=3-32b29+b24=1-b+b24+b24=12b2-b+1=12(b-1)2+12.因为2a=6-3b0,得b0,所以0b2.故当b=1时,mmin=12.故选A.10.【解析】选A.作出不等式组表示的平面区域如图.可知三个交点分别为(0,1),(2,0),12,3,且x0,y3.则z=3|x|+|y-3|=3x-(y-3)=3x-y+3,当它过点(2,0)处有最大值,过点12,3处有最小值.即32z9.11.【解析】对于,a,b均可小于1;对于,a,b均可等于1;对于,a,b均可为负数;对于,若a,b都不大于1,则a+b2,与矛盾.故若成立,则a,b中至少有一个实数大于1.答案：12.【解析】设A=x|-ax-1a=x|1-ax1+a,B=x|0x8,依题意,得(x-8)-4(x-8)x28%x.由于x0,因而原不等式化简为9x2-150x+4000.即(3x-10)(3x-40)0.解得103x403,故80,b0,所以1a+2b=1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab4+4=8,当且仅当ba=4ab,即b=2a时等号成立.答案：816.【解析】依题意,1=2ae0+b,则2a+b=1,所以(2a+b)1a+1b=3+ba+2ab3+22,当且仅当2a+b=1,ba=2ab,即a=2-22,b=2-1时取等号.故1a+1b的最小值是3+22.答案：3+2217.【思路点拨】利用定义可求解.【解析】f(x)=3x2-6x+3,f(x)=6x-6,令6x-6=0得x=1.因为f(1)=1,所以f(x)的对称中心为(1,1).答案：(1,1)18.【解析】(1)当ac+bd0时,(a2+b2)(c2+d2)0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcda2d2+b2c2,即0(bc-ad)2.因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.【误区警示】本题极易忽略对ac+bd的符号的讨论而直接平方证明,从而造成失分.19.【解析】(1)当a=12时,f(x)1即为x2+2x+121,所以2x2+4x-10,解得x-1+62或x-1+62,或x0可得x2+2x+a0,所以a-x2-2x.令g(x)=-x2-2x,当x1,+)时,g(x)有最大值g(1)=-3,因此要使不等式f(x)0恒成立,a的取值范围是a-3.【方法技巧】分离法解决不等式恒成立问题把要求范围的参数分离到不等式的一边,然后求出不等式另一边的最值(或取值范围),即可得到参数的取值范围.20.【解析】(1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线12x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1-a22,解得-4a0),由已知,得f(x)0在1,+)上恒成立,即ax在1,+)上恒成立,又因为当x1,+