线段和最短问题(马饮水)

专题一 两条线段和最短问题（一）一知识点：轴对称的性质及应用（菱形、正方形都关于对角线成轴对称） 两个固定点之间的距离线段最短两条平行线之间的距离垂线段最短、勾股定理基础模型（马饮水）：相传古希腊亚历山大亚里城有一位著名学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“如图，我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边为坐骑饮水.怎样走路程最近呢？”你能解答这个问题吗？能画出最近的路线吗？2 解题步骤定（找定点）对（画对称点）点共线找最短最后求最短距离时三个点中只要有定点求连线段最短（题1、2、4、5）如果全是动点，此时最短线段为两条平行线之间垂线段的长度（题3）3 典型练习N1.如图1，菱形ABCD的周长为16cm，ABC=60，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，那么AP+PE的最小值等于_cm. 图3 2.如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_3.如图3，菱形ABCD中，AB=2, BAD=60，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为_4如图4，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是 图4 图5 5.如图5所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D三 拔高练习1.如图1，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，点M、N分别是边BC、AB上的动点，在对角线AC上找一点P，使PM+PN有最小值，其最小值是 2.如图2，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 图1 图2 图10 3.（苏州中考题）如图3,在锐角ABC中，AB=，BAC=45,BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是_. 图3 图4 图54.如图4，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_5.如图5，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为_6.如图6，矩形ABOC的顶点A的坐标为（4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是_7如图7，四边形ABCD中，BAD=110，B=D=90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数是_ 图6 图7 图8 图96如图8，在ABC中，AB=，CAB=15，M、N分别是AC、AB上的动点，则BM+MN的最小值是？ 7如图9，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由（2）若ABC=30，C=45，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值8.如图10已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A（0，0）B（1，）C（，）D（